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très très gros probleme

Posté par antoine (invité) 26-08-04 à 21:37

bonsoir, ca fait 1h15 que je me prends la tête sur un exo  d un sujet où j ai vraiment du mal (les suites), je n avance pas!! quelqu un pourrait il m aider?

Voici l intitulé du problême

soit la suite (Un) définie par:
U0=2 et Un+1=1/2(Un/(1+Un))

On considère la fonction f définie sur ]-1;+[ par f(x) = 1/2(x/(1+x))

Montrer que pour tout 0<x, on a 0<f(x)
En deduire à l aide  d un raisonnement par récurence, que, pour tout entier n, on a 0<Un

Montrer que pour tout 0<x on a f(x)<x/2
En deduire que pour tout n1 on a Un<(1/2)Un-1

Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que pour tout n0 on a:
Un1/2n-1

Déduire des questions précédentes la limite de la suite (Un)

Posté par antoine (invité)correction 26-08-04 à 21:39

dans l antepenulptieme paragraphe c'est (1/2) Un-1

Posté par
muriel Correcteur
re : très très gros probleme 26-08-04 à 22:41

où est ton problème exactement?

Posté par antoine (invité)re : très très gros probleme 26-08-04 à 22:54

je bloque dès le depart, j ai beaucoup de mal à comprendre le sujet

Posté par
muriel Correcteur
re : très très gros probleme 26-08-04 à 23:29

prenons point par point:
f(x) = 1/2(x/(1+x))
= x/(2(1+x))
Montrer que pour tout 00donc
1<1+x
et
0<1/(1+x)<1 (2)
ainsi, en multipliant les 2 inéqualité (1) et (2), on a:
0on multiplie de chaque côté par 1/2:
0d'accord?

En deduire à l aide d un raisonnement par récurence, que, pour tout entier n, on a 0
qu'est-ce qu'un raisonnement par réccurence?
c'est un raisonnement qui montre qu'une propriété Pn est vraie en vérifiant qu'elle est vraie un un certain n0 (en général, =0 ou 1) puis en supposant qu'elle soit vraie au rang n et en la montrant au rang n+1.
(c'est le principe de l'escalier, pour monter un escalier, il faut gravir la 1ère marche, puis en supposant qu'on est à la nème marche, il faut montrer qu'on peut gravir la n+1 ème marche).
je te fais ici le raisonnement (en tenant donnant toutes les informations), mais les autres je te les laissent:
la propriété qu'on veut démontrer ici est:
pour tout entier n, on a 0pour n=0:
u0=2>0
donc la propriété est vraie au rang 0.
on suppose que cette propriété soit vraie au rang n, c'est à dire: un>0
on va montrer que un+1>0.
un+1=f(un)
d'après l'hypothèse de récurrence, un>0 et d'après précédement, on a f(un)>0
donc un+1>0
ainsi, on a montrer que un>0, pour tout n.

Montrer que pour tout 0en fait, tu peux montrer que x/2-f(x)>0 en réduisant au même dénominateur et en utilsant la même méthode que dans la 1ère question.
donc je te laisse le faire.

En deduire que pour tout n1 on a Un<(1/2)Un-1
soit n1, un entier.
un=f(un-1)un-1/2
(d'après l'inéqalité précédente)

Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que pour tout n0 on a:
Un1/2n-1
je te laisse la faire, donne ta réponse si tu veux qu'on vérifie.

Déduire des questions précédentes la limite de la suite (Un)
d'après précédement, on a:
0n1/2n-1
or \lim_{x\to +\infty} 1/2^n^-^1 =0
d'où
\lim_{x\to +\infty} u^n =0

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : très très gros probleme 26-08-04 à 23:36

Joli muriel , tu es déjà la première à faire une utilisation "pour de vrai" de l'option LaTeX dans les messages

Posté par
muriel Correcteur
re : très très gros probleme 26-08-04 à 23:45

sauf, que j'ai mal écrit la puissance n-1 de 2.
Je pense que j'aurais du écrire
2{n-1}, peut être, non?

Posté par
Océane Webmaster
re : très très gros probleme 26-08-04 à 23:51

Oui Muriel, pour écrire 2 puissance (n-1), il faut taper :
2^{n-1}
ce qui donne 2^{n-1}

Voili voilou

Posté par
muriel Correcteur
re : très très gros probleme 26-08-04 à 23:51

merci



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