bonsoir, ca fait 1h15 que je me prends la tête sur un exo d un sujet où j ai vraiment du mal (les suites), je n avance pas!! quelqu un pourrait il m aider?
Voici l intitulé du problême
soit la suite (Un) définie par:
U0=2 et Un+1=1/2(Un/(1+Un))
On considère la fonction f définie sur ]-1;+[ par f(x) = 1/2(x/(1+x))
Montrer que pour tout 0<x, on a 0<f(x)
En deduire à l aide d un raisonnement par récurence, que, pour tout entier n, on a 0<Un
Montrer que pour tout 0<x on a f(x)<x/2
En deduire que pour tout n1 on a Un<(1/2)Un-1
Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que pour tout n0 on a:
Un1/2n-1
Déduire des questions précédentes la limite de la suite (Un)
je bloque dès le depart, j ai beaucoup de mal à comprendre le sujet
prenons point par point:
f(x) = 1/2(x/(1+x))
= x/(2(1+x))
Montrer que pour tout 0
1<1+x
et
0<1/(1+x)<1 (2)
ainsi, en multipliant les 2 inéqualité (1) et (2), on a:
0
0
En deduire à l aide d un raisonnement par récurence, que, pour tout entier n, on a 0
qu'est-ce qu'un raisonnement par réccurence?
c'est un raisonnement qui montre qu'une propriété Pn est vraie en vérifiant qu'elle est vraie un un certain n0 (en général, =0 ou 1) puis en supposant qu'elle soit vraie au rang n et en la montrant au rang n+1.
(c'est le principe de l'escalier, pour monter un escalier, il faut gravir la 1ère marche, puis en supposant qu'on est à la nème marche, il faut montrer qu'on peut gravir la n+1 ème marche).
je te fais ici le raisonnement (en tenant donnant toutes les informations), mais les autres je te les laissent:
la propriété qu'on veut démontrer ici est:
pour tout entier n, on a 0
u0=2>0
donc la propriété est vraie au rang 0.
on suppose que cette propriété soit vraie au rang n, c'est à dire: un>0
on va montrer que un+1>0.
un+1=f(un)
d'après l'hypothèse de récurrence, un>0 et d'après précédement, on a f(un)>0
donc un+1>0
ainsi, on a montrer que un>0, pour tout n.
Montrer que pour tout 0
donc je te laisse le faire.
En deduire que pour tout n1 on a Un<(1/2)Un-1
soit n1, un entier.
un=f(un-1)un-1/2
(d'après l'inéqalité précédente)
Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que pour tout n0 on a:
Un1/2n-1
je te laisse la faire, donne ta réponse si tu veux qu'on vérifie.
Déduire des questions précédentes la limite de la suite (Un)
d'après précédement, on a:
0n1/2n-1
or =0
d'où
=0
Joli muriel , tu es déjà la première à faire une utilisation "pour de vrai" de l'option LaTeX dans les messages
sauf, que j'ai mal écrit la puissance n-1 de 2.
Je pense que j'aurais du écrire
2{n-1}, peut être, non?
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