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Triangle de Morley
Bonjour tout le monde,
j'ai un problème de maths renforcé, j'ai un DM à faire mais je n'ai pas fait spé maths en term (j'ai préféré opter pour la physique chimie) et donc j'ai quelque lacune pour cet exercice .. j'ai essayé de m'y mettre mais j'ai vite coincé :s .. j'ai réussis la reste du DM et comme j'espère obtenir une bonne note dans cette matière facultative je voulais savoir si quelqu'un pouvait m'aider.
Le Triangle de Morley en détail
Soient 
,
et 
]0,
[ les angles en A, B, respectivement C. Il est utile de considérer les rotations f de centre A et angle 2/3, g de centr B et angle 2/3 et h de centre C et angle 2/3.
a) On note
f(z)=a1z+b1 , g(z)=a2z+b2 , h(z)=a3z+b3
Déterminer les nombres complexes a1, a2, a3, b1, b2, b3. Montrer que a1a2a3 = j, où j=exp(2i/3).
b)Démontrer que les sommets du triangle déterminé par les intersections des trissectrices sont les points fixes de g o h, h o f et f o g. En déduire les affixes m, n, p.
c) Démontrer que A est un point fixe de f^3 o g^3 o h^3 et en déduire que f^3 o g^3 o h^3= = Id. Exprimer cela comme une relation algébrique entre les nombres a1, a2, a3, b1, b2, b3.
d) Démontrer que le triangle déterminé par les points d'intersection des trissectrices est équilatéral en mettant en évidence dans l'expression m + jn + j²p la relation algébrique du point c).
ouf fini de recopier l'ennoncé! lol
bonjour,
dans la rotation de centre A et d'angle 2alpha/3 un point M du plan a pour image M'tel que AM=AM' et angle des vecteurs (AM ,AM')=2alpha/3
si z et z' sont les affixes de M et M' cela se traduit par:
(z'-a)=(z-a)exp(2ialpha/3) si je note a l'affixe de A
f(z)=z'=(z-a)exp(2ialpha/3) + a =>a1=exp(2ialpha/3)
et b1=a(1-exp(2ialpha/3) sauf erreur de calcul
de même g(z)=(z-b)exp(2ibeta/3) + b si je note b l'affixe de B
h(z)=(z-c)exp(2igamma/3) +c si je note c l'affixe de C
a1a2a3=exp(2ialpha/3)exp(2ibeta/3)exp(2igamma/3)
=exp 2i=(alpha+beta+gamma)/3)=exp(2ipi/3)=j
faute de frappe à la dernière ligne
=exp2i(alpha+béta+gamma)/3 il ya un signe=aprés le 2i qui est un intrus
bonsoir,
pour la question b)quel est exactement ce triangle,il me semble qu'il peut y en avoir plusieurs ou je n'ai pas bien compris le texte
Il s'agit du triangle du milieu du schéma :
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Morley_triangle.png/300px-Morley_triangle.png
mais bon je dois le rendre demain (avec une semaine de retard déjà .. hé oui la mobilisation contre le CPE nuit à la rendaison à temps des DM 
)
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