Niveau quatrième

Triangle equilateral

Posté par kio (invité) 10-12-04 à 21:31

Bonjour et merci de votre aide.

Peut on calculer la surface d'un triangle equilatéral avec seulement la longueur d'un coté?

Posté par K-tsuo911 (invité)re : Triangle equilateral 10-12-04 à 21:38

BONJOUR KIO!!

Eh bien moi je pense que oui car voici la formule
(c au carré 3)/4

un exemple: 3au carré 3/4

voilà à la prochaine!!

Posté par re : Triangle equilateral 10-12-04 à 21:38

Bonjour

Oui tout à fait .

Démonstration (voir dessin si joint)

Notons ABC notre triangle équilatéral de côté de longeur a
et (AH) sa hauteur de base [BC] .

ABC étant équilatérale , nous pouvons dire que cette hauteur coupe [BC] en son milieu , donc $HC=HB=\frac{a}{2}$

Maintenant plaçons nous dans le triangle ACH par exemple . Celui-ci est rectangle en H ( (AH) étant une hauteur ) donc on peut appliquer la théoréme de pythagore qui va nous dire :
$AH^{2}+HC^{2}=AC^{2}$

c'est à dire :
$AH^{2}=AC^{2}-HC^{2}$
Donc en utilisant les valeurs appropriées :
$AH^{2}=a^{2}-$\frac{a}{2}$^{2}$
soit :
$AH^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}$
$AH^{2}=\frac{4a^{2}-a^{2}}{4}$
$AH^{2}=\frac{3a^{2}}{4}$
Donc :
$AH=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}}$
c'est a dire :
$AH=\frac{\sqrt{3a^{2}}}{\sqrt{4}}$
soit :
$AH=\frac{1}{2}\sqrt{3}a$

Ayant la hauteur et la longueur des côtés on peut calculer l'air :
$Aire=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sqrt{3}a\times a)$
$Aire=\frac{1}{4}\sqrt{3}a^{2}$

Posté par re : Triangle equilateral 10-12-04 à 21:54

Oups , j'ai oublié le dessin , le voici :

Triangle equilateral

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