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Triangle équilatéral coordonnées entiers

Posté par kimi00 (invité) 07-10-05 à 19:37

Bonjours
Voici un un problème où je reste bloqué.

Soient x1, x2, y1, y2 den entiers tels que les points (0,0), (x1,y1) et(x2,y2) dans le plan sont les sommets dùn triangle équilatéral. Alors x1, x2, y1, y2 sont tous pairs.

Merci d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Triangle équilatéral coordonnées entiers 08-10-05 à 00:25

Bonsoir kimi00;
Si O(0,0) , A_1(x_1,y_1) et A_2(x_2,y_2) sont les sommmets d'un triangle équilatéral non réduit à un point alors on doit avoir:
3$\fbox{ \det(\vec{OA_1},\vec{OA_2})=OA_1\times OA_2\times sin( (\widehat{\vec{OA_1},\vec{OA_2}}))} et vu que 3$\fbox{et\{{OA_1=OA_2\\(\widehat{\vec{OA_1},\vec{OA_2}})\equiv\pm\frac{\pi}{3}[2\pi]}
3$\fbox{\frac{|\det(\vec{OA_1},\vec{OA_2})|}{OA_1^2}= \frac{sqrt3}{2}} c'est à dire que 3$\fbox{\frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{x_1^2+y_1^2}=\frac{sqrt3}{2}} et vu que x_1,y_1,x_2 et y_2 sont des entiers sqrt3 serait un rationnel ce qui est hors de question.
Donc nécéssairement O=A_1=A_2 c'est à dire que x_1=y_1=x_2=y_2=0 et c'est en particulier des entiers pairs.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
piepalmre : Triangle équilatéral coordonnées entiers 08-10-05 à 08:09

Un raisonnement arithmétique: modulo 4 le carré d'un entier est congru à 0 s'il est pair, à 1 s'il est impair.
Puisque le triangle est équilatéral x1^2+y1^2=x2^2+y2^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
modulo 4, chaque somme de carrés peut donc être égale à 0, 1 ou 2
Elle serait égale à 2 si chaque nombre x1, y1, x2, y2, est impair, mais alors les différences sont paires...
Elle serait égale à 1, si dans chaque couple il y a un nombre pair et un nombre impair, mais alors les différences sont de même parité...
Donc les quatre nombres x1, y1, x2, y2 sont pairs

Posté par kimi00 (invité)re : Triangle équilatéral coordonnées entiers 08-10-05 à 11:03

merci elhor_abdelali et piepalm pour vos réponses.
J'essaierai maintenant de les comprendre


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