tout d'abord AI*BA/2 c'est faux, tu sais que ABC est un triangle équilatéral donc que la distance AI est la hauteur de ce triangle et donc la base est BC, ce qui donne pour l'aire AI*BC/2
pour résoudre cette exercice je ne pense pas qu'on est besoin de l'aire du triangle sa doit être plus simple et général c'est à dire que la démonstration doit pouvoir se trouver sur internet facilement je vais jeter un oeil et je reviens

merci

bon alors j'ai trouvé le nom du théorème mais pas la demonstration je poursuis mes recherches, juste pour info c'est le Théorème d'Erdös-Mordell.

j'arrive pas à trouver tout ce que j'ai trouver c'est que MA+MB+MC=2(MH+MK+ML)

Bonjour


Première démonstration
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d'une part, aire(ABC) = AI * BC / 2

d'autre part
aire(BMC) = BC * MH / 2
aire(MCA) = AC * MK / 2
aire(BMA) = AB * ML / 2
aire(ABC) = aire(BMC) + aire(MCA) + aire(BMA)
          = BC * MH / 2  +  AC * MK / 2   +    AB * ML / 2
et comme ABC est équilatéral  AB = AC = BC
donc aire(ABC) = BC * MH / 2  +  BC * MK / 2   +    BC * ML / 2
               = BC * (MH+MK+ML) / 2

Ainsi:   AI * BC / 2  =  BC * (MH+MK+ML) / 2
donc AI = MH + MK + ML

merci beaucoup pour votre aide siOk

I est mal placée dans la figure précédente ...
le reste est correct


Deuxième démonstration (plus dure ... juste l'idée)
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Théorème
Dans tout triangle ABC isocèle en C
pour tout point du segment [AB], on a: KM + ML = longueur hauteur issue de A
où L et K sont les projetés orthogonaux de M sur les côtés [AC] et [BC]



Preuve

Etape 1
Soit C' le symétrique de C par rapport à (AB)
Soit K' le projeté orthogonal de M sur (AC')
On montre que K' est le symétrique de K par rapport à (AB)

Le symétrique de M est M (M sur l'axe)
Le symétrique de la droite (AC) est la droite (AC')
donc
le symétrique de la perpendiculaire à (AC) passant par M
est la perpendiculaire à (AC') passant par M
Ainsi, le symétrique de la droite (KM) est la droite (MK')

K est sur (MK) et (AC)
donc son symétrique est sur (MK') et (AC')
c'est K'


Etape 2
On montre que:  
K', M, L sont alignés
KM + ML = K'M + ML = K'L


Etape 3
On montre que
ADLK' est un rectangle
donc K'L = AD

Et comme AD est indépendant de M,
AD est la hauteur issue de A dans ABC



Retour au triangle équilatéral (étape 4)
On trace la parallèle à (BC) passant par M. Elle coupe les côtés en B' et C'
On montre que:
AB'C' est un triangle équilatéral
HM + ML est la hauteur du triangle équilatéral AB'C'(on applique le théorème précédent)
On en déduit que: HM + ML + MK est la hauteur du triangle équilatéral (dans un triangle équilatéral toutes les hauteurs ont même longueur)




Si quelqu'un trouve d'autres démonstrations ...

je compren pas pourquoi vous avez cette démonstration
merci

est ce que je dois mettre tout sa dans mon exercice la 1ere demonstration suffi non?

je ne sais pas ce que c'est un projeté orthogonal merci

Non rassure-toi Sara57, la première démonstration suffit !
La seconde, c'est pour ceux qui aime bien les "jolies" démonstrations ...c'est pour cela que je l'ai postée à part.

d'accord mercii beaucoup

Salut ... et ne trompes pas dans la figure comme moi (place bien I)