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Triangle et angles (seconde)
Bonjour
Construire un triangle ABC dont les angles A, B et C ont pour mesures respectives 60°, 75° et 45°. Construire la médiatrice d du segment [BC] puis le cercle C circonscrit au triangle ABC. On désigne par M le point d'intersection du cercle C et de la droite d situé du même côté que A par rapport à (BC). Justifier l'égalité BAC = BMC, puis démontrer que le triangle MBC est équilatéral.
J'ai fait la figure sans problème.
On sait que les angles BAC et BMC sont des angles inscrits dans le cercle et qu'ils interceptent le même arc BC.
D'après la propriété si deux angles inscrites dans un cercle interceptent le même arc, alors ils sont égaux donc on a BAC = BMC = 60 °
Pour le triangle équilatéral je vois que les trois angles sont égaux mais comment le démontrer SVP.
Un petit coup de main SVP me serait utile. Merci
Stella
Remarque:
Tu dis:
"D'après la propriété si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils sont égaux donc on a BAC = BMC = 60 °"
Ce n'est vrai que parce que A et M sont du même coté par rapport à la corde BC.
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Suite:
On a MB = MC puisque d est la médiatrice de [BC].
Donc le triangle BMC est isocèle en M
-> angle(MCB) = angle(MBC) (1)
La somme des angles d'un triangle = 180° -> dans le triangle BMC, on a:
angle(MCB) + angle(MBC) + angle(BMC) = 180°
-> avec (1):
2.angle(MBC) + angle(BMC) = 180°
Or on a montré que angle(BMC) = 60° ->
2.angle(MBC) + 60° = 180°
2.angle(MBC) = 120°
angle(MBC) = 60°
Et avec (1), il vient:
angle(MCB) = angle(MBC) = angle(BMC) = 60°
Et donc le triangle MBC est équilatéral.
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Sauf distraction. 
Bonjour
Pourquoi
2.angle(MBC) + angle(BMC) = 180°
Or on a montré que angle(BMC) = 60° ->
2.angle(MBC) + 60° = 180°
2.angle(MBC) = 120°
angle(MBC) = 60°
Pouvez-vous m'éclairer SVP, merci
Stella
Bonjour Stella.
On a montré que:
angle(MCB) = angle(MBC) (1)
et que:
angle(MCB) + angle(MBC) + angle(BMC) = 180° (2)
On peut donc (voir (1)) remplacer l'angle(MCB) par l'angle(MBC) dans l'équation (2), on a alors:
angle(MBC) + angle(MBC) + angle(BMC) = 180°
2.angle(MBC) + angle(BMC) = 180°
Comme on a montré (tout au début) que angle(BMC) = 60°
On a alors: 2.angle(MBC) + 60° = 180°
2.angle(MBC) = 180°-60°
2.angle(MBC) = 120°
angle(MBC) = 60°
Mais (1) dit que angle(MCB) = angle(MBC)
On a alors: angle(MCB) = angle(MBC) = 60°
Et comme on a montré (tout au début) que angle(BMC) = 60°
Il vient finalement: angle(MCB) = angle(MBC) = angle(BMC) = 60°
Les 3 angles du triangle MBC sont égaux à 60° et donc le triangle MBC est équilatéral.
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