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Triangle et cercle inscrit
Une unité de longueur est fixée dans le plan.
Tout triangle dont les côtés mesurent 5,12 et 13 est un triangle rectangle.
1) Pourquoi ?
2) Quel est le rayon du cercle inscrit dans le triangle rectangle de côté 5,12 et 13 ?
3) On considère le même triangle 𝐴𝐵𝐶, et on inscrit dans ce triangle deux cercles identiques, de même rayon, tangents chacun à deux côtés du triangle et tangents entre eux. Voici les trois dispositions possibles.
Quels sont les rayons de ces cercles, dans chaque cas représenté ?
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Pour la question 1 , j'y suis arrivé sans problème avec pythagore
Pour la 2, j'y suis arrivé avec l'aire du triangle et les 3 aires des triangles.
Par contre pour la 3, je vois pas trop comment faire, avec Thales j'ai trop d'inconnues
bonjour
1er graphe
je n'ai pas encore fini les calculs mais que je pense avoir une piste.
pas sûre non plus que ce soit la plus simple...
soit r le rayon cherché (donc AJ = 5-2r)
- exprimer IJ en fonction de r (Thalès)
- exprimer l'aire de AIJ en fonction de r
- établir le coeff réducteur entre l'aire de AIJ et celle de ABC
- poser l'équation en r et la résoudre
bon... chou blanc, ça ne mène à rien :/
en revanche, avec ce qui suit, ça marche (voir si plus simple)
soit r le rayon cherché (donc AJ = 5-2r)
- exprimer IJ en fonction de r (Thalès)
- exprimer l'aire de AIJ en fonction de r
- exprimer le périmètre P de AIJ en fonction de r
- r = 2*aire/P
Déja merci pour la réponse
ok pour AJ = 5 -2r
mais ensuite
IJ/BC=AJ/BA
IJ/12=(5-2r)/5
Aire(AIJ)=(5-2r)/5*12*(5-2r)/2
A=(5-2r)²/5*6
le coef reducteur ?
IJ = 12(5-2r)/5
Aire(AIJ)=(5-2r)/5*12*(5-2r)/2 = 6(5-2r)²/5 après simplification
coefficient de réduction : j'ai abandonné cette piste (cf 16h48)
pour la suite :
- exprimer le périmètre P de AIJ en fonction de r ==> commencer par établir AJ par Pythagore
Bonjour,
une méthode de construction qui se prête bien au calcul par les réductions
et qui est valable pour chacun des trois cas de la question 3 d'un coup car elle est universelle (valable quel que soit le triangle ABC)
construire le rectangle ABNM de rapport 2:1 sur le côté AB du triangle
(c'est à dire que AM = AB/2)
soit I le centre du cercle inscrit à ABC (point de concours des bissectrices des angles A et B)
les droites IM et IN coupent AB en E et F, points de contacts des cercles cherchés
Si R est le rayon de ces cercles EF = 2R
or par réduction (ou Thalès comme on veut le rédiger) EF/MN = ID/IH
ID est connue de la question 2 (c'est le rayon du cercle inscrit)
MN = AB et HD = AB/2 sont connus
et c'est terminé.
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