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Niveau terminale
triangle et homotétie
Posté par Jaina
Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice. Pourriez vous m'aidez ? Merci d'avance.
Soit ABC un triangle, et A', B', C' les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].
Soit G le centre de gravité de ABC
a:Montrer que A' est l'image de A par une homotétie h de centre G dont on précisera le rapport.
J'ai réussi, et j'ai trouvé un rapport de (-1/2)
b : En déduire que les hauteurs de A'B'C' sont les médiatrices de ABC.
J'ai réussi, en utilisant le théorème des milieux, mais puisque il y marqué " en déduire ", je pense qu'il faut une démonstration avec les homotéties
c : Quel résultat retrouve t on ?
Alors la, je n'ai vraiment aucune idée. Peut etre quelque chose en rapport avec l'homotétie, le théorème des milieux, ou le barycentre.
Voila ! Si pouvez m'aider...
Encore merci.
Bonsoir
Pour le b), la méthode que tu as utilisée est, à mon avis, la bonne
c'est pour la question c) que tu retrouves l'homothétie
Les deux triangles sont homothétiques dans l'homothétie que tu as définie en question a)
et tu as démontré que l'orthocentre de A'B'C' était le centre du cercle circonscrit de ABC
Or dans cette homothétie l'orthocentre de ABC devient l'orthocentre de A'B'C' donc le centre du cercle circonscrit de ABC
tu peux donc en conclure que dans un triangle ABC,
l'orthocentre H, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés et que H coorespond à O dans une homothétie de centre G et de rapport -1/2
La droite est ce que l'on appelle la droite d'Euler
Et sur cette même droite, on retrouvera également le centre du cercle circonscrit à A'B'C', cercle que l'on appelle le cercle d'Euler ou encore le cercle ses 9 points (car ce cercle passe aussi par le pied des hauteurs de ABC et par le milieu des segments [AH], [BH], [CH]
Bon travail