j'ai un problème de démonstration par rapport à un théorème sur triangle.
triangle ABC rectangle en A. AB 4 cm et AC 2 cm
cercle de centre A avec un rayon Ac qui coupe AB en M et BC en P.
la parallèle à BC passant par M coupe AC en N
les droites MN et AP se coupent en O

1- démontrer que N est le milieu de AC
2- montrer que OM= 1/2 de PB

pour le 1- j'ai fait ainsi  théorème selon lequel si une droite passe par le mileiu d'un coté et est parallèle à un second coté alors elle coupe le troisième coté en son milieu.
J'ai mis que AC (rayon) = AM et donc M milieu de AB
je sais que la droite parallèle à BC passant par M coupe AC en N
donc je déduis que N est le milieu de AC

pour le 2 j'ai un problème
je veux utiliser le théorème suivant dans un triangle la longueur du segment joignant les milieux des 2 cotés est égale à la moitié de celle du 3° cote.
je pose que M est milieu de AB; que AC=AP=AM (rayon); que O appartient à MN et P appartient à BC que MN et BC sont //
je voudrais démontrer que P est symétrique de A par rapport à O mais je peine.
en faisant cela je pourrais conclure que O milieu de AP et donc OM = 1/2 de PB
est ce que quelqu'un peut m'aider car j'ai des doutes sur ma démonstration
merci