Triangle ou pas triangle ?

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Triangle ou pas triangle ?
Posté par 
Imod  01-08-20 à 11:14
Bonjour à tous

Ces derniers temps j'ai proposé des problèmes un peu lourds parce c'est ceux que j'aime par dessus tout mais j'apprécie aussi les petits quickies . En voici un qui m'a bien réjoui .

Si on place un point dans un triangle et qu'on le relie à chacun des sommets on dispose de  trois longueurs qui ne sont pas toujours les côtés d'un triangle . Pourtant , avec un triangle équilatéral ...

C'est simple et rapide donc on blanke 

Amusez-vous bien 

Imod

 Posté par 
dernyre : Triangle ou pas triangle ?  01-08-20 à 12:35
Bonjour

Imod, le sujet a déjà été traité. j'ai déjà donné la formule qui donne le côté d'un triangle équilatéral en fonction des 3 distances aux sommets.

Avec des distances entières, le plus petit triangle fait 112 de côté.
 Posté par 
dpire : Triangle ou pas triangle ?  01-08-20 à 16:17
Bonjour

Que voilà un joli tétraèdre de sommet P.
 Posté par 
Imodre : Triangle ou pas triangle ?  01-08-20 à 18:21
Derny : il y a une solution sans formule , sans calcul et pratiquement sans un mot 

Dpi : il est peu plat ton tétraèdre .

Imod
 Posté par 
verdurinre : Triangle ou pas triangle ?  01-08-20 à 18:58
Bonsoir,

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si P est à l'intérieur du triangle ABC alors la plus grande des distances AP, BP, CP est strictement inférieure au côté x du triangle ABC.

Et la somme des deux autres distances est strictement supérieure à x car on a un triangle.

Les longueurs AP, BP et CP sont donc les côtés d'un triangle.
 Posté par 
Imodre : Triangle ou pas triangle ?  01-08-20 à 19:05
Bonsoir Verdurin

Il me semble que tu montres qu'un des côtés ( pas les trois ) est inférieur à la somme des deux autres .

Il y a un hiatus 

Imod
 Posté par 
verdurinre : Triangle ou pas triangle ?  01-08-20 à 20:19
Bonsoir Imod.

Non, je montre que le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres.

Ce qui est suffisant.

Mais je reconnais volontiers que ma « démonstration » est très maladroite.
 Posté par 
Imodre : Triangle ou pas triangle ?  02-08-20 à 09:14
Tu as raison ( pas pour le côté maladroit  ) .

En fait il y a une construction très simple du triangle tricolore qui se passe de toute explication : une démonstration par l'image .

Imod
 Posté par 
dernyre : Triangle ou pas triangle ?  02-08-20 à 17:20
Bonsoir. Excuse Imod je n'avais pas compris l'énoncé.
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Sans vraiment réfléchir au problème : Si on place P aux différents points névralgiques le triangle est possible. P au centre, pas de problème. P sur un sommet ou presque : pas de problème. P au centre d'un côté ou presque : idem (triangle presque plat). Tous les autres cas sont des cas intermédiaires à ces 3 cas et devraient convenir (d'accord cette démo est un peu tirée par les cheveux)
 Posté par 
Imodre : Triangle ou pas triangle ?  02-08-20 à 17:46
Il n'y a pas d'excuse à donner 

Il y a une démonstration très simple de la propriété sous le cache de Verdurin  ( tu n'es pas obligé de regarder ) .

Ce que je trouve amusant c'est qu'il y a une construction parfaitement élémentaire de ce triangle .

Imod  
 Posté par 
Imodre : Triangle ou pas triangle ?  02-08-20 à 18:26
Ma dernière intervention peut paraître bizarre car la construction d'un triangle connaissant ses côtés est élémentaire . Je voulais dire qu'il y a une construction très simple qui montre l'existence du triangle en le traçant .

Imod
 Posté par 
dpire : Triangle ou pas triangle ?  03-08-20 à 07:56
Bonjour,

Une petite idée .

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Une rotation de 60°...

 Posté par 
Imodre : Triangle ou pas triangle ?  03-08-20 à 10:43
C'était exactement mon idée 

Imod
  Posté par 
dpire : Triangle ou pas triangle ?  03-08-20 à 12:14
Au passage,

J'en profite pour vérifier l'exercice de derny selon lequel le plus petit triangle

équilatéral pour lequel les 3 distances aux sommets d'un point intérieur sont entières

a pour coté 112.

Si je ne m'abuse ,la plus courte de ces distances est 57 et il est inutile de chercher au delà de 86  .

La seule solution est  57/65/73  qui vérifie une aire objectif de 112 x1123/4=5431.71133..