Peux-tu dire la nature respective des triangles IJK et IOK ?

Bonjour,

pour comprendre quelque chose là dedans il faut bien entendu ajouter les points de contact (les nommer), rayons etc et bien sur tracer les triangles dont on parle ...

Justement, je ne vois pas comment justifier proprement la nature des deux triangles.
On ne précise pas que I, O et J sont alignés .

IJK me semble isocèle en K :
[KI]=[KJ]   (justification??)

IOK triangle en O:
[OI]=[OK] (justification??)
OK est la médiane issue de K comme le triangle IJK est isocèle en K la médiane et la médiatrice issue de K sont confondues donc l'angle IOK est droit.

On pourra utiliser pythagore par la suite.

lorsque deux cercles sont tangents, le point de contact et les deux centres sont alignés

il doit manquer un bout de l'énoncé parce que sinon c'est impossible.
par exemple que les rayons de (I) et (J) valent 1 ...

en fait le bout manquant est automatiquement déduit de "O est le centre du cercle"

Le dessin avec point d'intersection et triangles.

et les rayons ? à savoir ceux qui partent des points de contact bien sur ...

avec la remarque précédente :

Il manquait certain rayon.

Ps: c'est possible d'éditer ses réponses?

hum ... un des rayons issu de K est incorrect (il n'est évidemment pas égal à OK)
et il en manque deux autres.



et maintenant tout est visible
il n'y a plus qu'à rédiger les justifications
puis le calcul avec Pythagore, en appelant r le rayon inconnu de (K)

Et pour mémoire, rappelons la superbe formule de Descartes découverte en 1643 qui lie les rayons de 4 cercles tangents (j'ai même vu que tu l'avais mise sur ton site mathafou )

(1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ + 1/R ₄)² = 2(1/R₁ ² + 1/R₂² + 1/R₃² + 1/R ₄²)

(dont on aurait pu se servir ici avec R₁ = -2R (parce qu'il entoure les deux autres sa courbure est négative) ; R₂ = R₃ = R et en cherchant R₄ = x mais ça donne une équation du second degré donc c'est pas plus rapide que les calculs suggérés par mathafou. ça donne x = 2R/3 je crois)

certes mais cette formule n'est pas sensée être connue, donc il faudrait la démontrer d'abord, ce qui dans le cas général est énormément plus compliqué que l'exo présenté ici

on peut aussi chercher à construire la figure (à la règle et au compas) sans calculer au préalable la valeur de r
ce n'est pas non plus demandé
là intervient le problème d'Apollonius : construire un cercle tangent à 3 autres
que ce soit facilité parce que "les trois autres" sont déja tangents entre eux, et que de plus deux d'entre eux sont égaux, certes .. mais bon ...

construction "à la mode d'Apollonius" :
(après avoir justifié que AC est un diamètre et que OB est perpendiculaire à AC)
augmentons de 1 le rayon du cercle (K) et de 1 celui du cercle (O) qui devient (O') ces deux cercles restent tangents en B'
en diminuant de 1 le rayon des cercles (I) et (J) qui sont alors réduits à de simples points I et J,
le cercle (K) est toujours "tangent" à ces cercles de rayon nul, c'est à dire passe par I et J



le problème devient :
construire le centre du cercle passant par I et J et tangent à (O') en B'
qui devient alors évident puisque ce cercle est le cercle circonscrit à IJB'
effectuer cette construction avec geogebra donne une "conjecture" pour la valeur de r, ou une vérification des calculs.

mais tout ceci (formule de Soddy-Descartes, constructions d'Apollonius etc) est "un peu hors sujet" ici .

salut,
je ne fais que passer pour conserver ce fil.

mais là tu as résolu d'abord la partie "théorique" à savoir obtenir à la main l'équation pour la faire résoudre par Xcas et calculer (faire calculer) r dans le but de construire (K) à partir de ce rayon.

vu la "complexité" d'une telle équation (qui se ramène à une équation du 1er degré après simplification) on se demande si c'est utile de la faire résoudre par Xcas
le plus "dur" ici est d'obtenir l'équation, pas de la résoudre !

mais bon...

je ne propose rien c'est juste pour ne pas perdre le fil

et avoir de belles figures

Donc pour l'écriture propre de cette démonstration, je ne comprend pas bien les indications. Je rappel que c'est un exercice de niveau 2nd.

revenons à la figure de 13-10-17 à 00:27
le reste est hors sujet.

il s'agit de justifier d'abord que les points A,I,O,J,C sont alignés
ce qui permettra de calculer le rayon des deux cercles égaux = 1
pour cela on utilise ce que j'ai rappelé (propriété de collège de cercles tangents en général) :
si deux cercles sont tangents, le point de contact et les centres sont alignés

je note (I) le cercle de centre I etc

(I) et (J) sont tangents en O
donc O, I, J alignés

(O) et (I) sont tangents en A, donc O, I, A alignés

(O) et (J) sont tangents en C, donc O, J, C alignés

de tout çà on en déduit que tous ces points sont sur la même droite qui est donc un diamètre de (O)
et immédiatement que le rayon des cercles (I) et (J) est la moitié du rayon de (O), donc = 1
(connaitre la mesure de ces rayons simplifiera beaucoup l'écriture)

intéressons nous maintenant à l'indice de l'énoncé qui consiste à étudier la nature des triangles cités

I,D,K sont alignés (toujours la même raison) et IK = ID + DK
idem pour JK = JE + EK

et comme ID = IE = 1 et que DK = EK = r (inconnu, mais r)
on en déduit la nature de IJK
et par conséquent la nature de OIK vu que OK est "par définition" la médiane de IJK

toujours les alignements : O,K,B alignes et OK = OB - BK = 2 - r

tu as maintenant tout ce qu'il faut pour appliquer (écrire) Pythagore dans OIK

puis résoudre cette équation. (tout est écrit "en fonction de r", donc cette relation est une équation en l'inconnue r)

tu peux terminer seul.