Inscription / Connexion Nouveau Sujet
triangles équilatéraux et rotations
Bonjour,
On considère dans le plan une droite D. Soit A un point du plan. On cherche à construire tous les triangles équilatéraux AMM' avec et
.
Je cherche à montrer qu'il y a un seul triangle équilatéral qui répond à la question.
ajoutons qu'on cherche AMM' équilatéral direct (AM'M conviendra aussi et c'est le même géométriquement)
bonne vieille méthode d'analyse et synthèse 
analyse :
supposons le problème résolu...
alors la rotation de centre A et d'angle 
/3 ...
D donc l'image de M est sur ...(il y a un petit bouton marqué Img... cela n'aurait-il pas un rapport avec l'insertion d'une image ?)
...?....
Je réponds en l'absence de matheuxmatou qui reprendra la main dès qu'il le voudra.
Disons que l'on a commencé par chercher les triangles AMM' directs.
C'est à dire avec l'angle des vecteurs AM et AM' de mesure +
/3 .
Il a été démontré que le seul possible est celui avec M' à l'intersection des droites D et r(D).
Il reste à démontrer que si N est le point d'intersection de D et r(D)
alors
on peut trouver un triangle équilatéral direct AKN avec K sur la droite D.
M'1 est le point d'intersection de r(D) avec D, M'2 est le point d'intersection de r'(D) avec D.
où r' est la rotation de centre A et d'angle
Il faut aussi montrer que le point M défini par
Est-ce le point M' dont tu parles ci-dessus ?
Ok on a trouvé un seul triangle équilatéral direct. Mais il reste à trouver les triangles équilatéraux indirects AM'M
Comme M1=r'(M1'), M1 \in r'(D)
Comme M1 doit appartenir à D, M1 est l'intersection de D et de r'(D).
Donc M2'=M1.. Cherchons où doit se situer M2.
r'(M1')=M1=M'2
par définition, M2'=r'(M2) donc r'(M1')=r'(M2) donc M1'=M2 puisqu'une rotation est bijective.
On a trouvé 2 triangles équilatéraux confondus, donc il n'y a qu'une solution.
Bonjour,
juste en passant
il ne faut pas se mélanger les pinceaux dans qui est qui et la transformée de quoi par quoi.
Il y a bien en général deux triangles distincts qui conviennent
Bonjour mathafou,
quand il n'y a qu'une droite D, il n'y a qu'un seul triangle qui convient. Quand il y a 2 droites D et D' parallèles, il y a 2 triangles qui conviennent.
@sgu35,
Je n'ai rien compris à ton message de 20h55.
Tu y parles de points dont on ne sait pas la définition.
Et dans ta réponse à mathafou : D et D' parallèles 
@mathafou,
Je ne vois pas les deux triangles.
D' est une droite du plan donnée.
Dans l'exercice complet, il y avait deux droites données D et D'.
On cherche à construire tous les triangles équilatéraux AMM' avec et
.
On pose la rotation de centre A et d'angle
,
la rotation de centre A et d'angle
.
comprendre l'énoncé ainsi :
on donne deux droites D et D' (quelconques)
et un point A (quelconque) du plan
on cherche les triangles équilatéraux AMM' avec M sur D et en même temps M' sur D'
(ne pas mélanger les "prime" et "pas prime" !!)
il y en a bien deux :
Pour qu'un triangle AMM' soit équilatéral, il faut et il suffit que M1' soit l'image de M1 par la rotation r de centre A et d'angle et que M2' soit l'image de M2 par la rotation r' de centre A et d'angle
.
On suppose que le problème a deux solutions et
.
M1 devant se trouver sur D, M1' doit se trouver sur r(D), image de D par r.
Comme M1' doit appartenir à D', M1' est le point d'intersection de D' et de r(D).
Les droites r(D) et D' ne sont pas parallèles car r(D) fait un angle de avec D donc aussi avec D' donc r(D) et D' sont sécantes.
Soit
alors car si on note
, alors
On a donc AM1M1' est un triangle équilatéral répondant à la question.
On raisonne de même pour r'.
l'énoncé a toujours été ça depuis le tout premier message 
Bonjour,
On considère dans le plan une droite D. Soit A un point du plan. On cherche à construire tous les triangles équilatéraux AMM'avec
Je cherche à montrer qu'il y a un seul triangle équilatéral qui répond à la question.
et pour cause la salade de primes :
donc
M' doit être sur Dprime , pas sur D
donc M' est l'intersection de D prime et de r(D)
etc
ensuite il faudra discuter :
que se passe-t-il si r(D) est parallèle ou confondue avec Dprime ?
que peut on dire des droites D et Dprime dans ce cas particulier
(dans lequel il y a 0 solution ou une infinité de solutions avec cette rotation là )
voila. (message 12:34de entre temps )
mais
Les droites r(D) et D' ne sont pas parallèles
faux
Les droites r(D) et D' ne sont en général pas parallèles
et si elles le sont ? voire confondues ?
J'ai omis de dire que D et D' sont parallèles.
Si l'énoncé change en cours de route, je passe mon tour
Si l'angle de D et D' est égal à \pi/3, et si A n'est pas le point d'intersection de D et D',
l'une des droites r(D) ou r'(D) sera parallèle à D', donc il n'y a qu'un M' qui répond à la question, donc on obtient une seule solution.
Si l'angle de D et D' est égal à , et si A est le point d'intersection de D et D',
l'une des droites ou
sera confondue avec D'.
Donc il existe une infinité de points M' situés sur ou
.
Donc il y a une infinité de solutions.
Si l'angle de D et D' est égal à , et si A n'est pas le point d'intersection de D et D',
l'une des droites ou
sera parallèle à D', donc il n'y a qu'un M' qui répond à la question, donc on obtient une seule solution.
oui mais deux droites parallèles ne forment pas un angle de 60° !!
et n'ont pas de point d'intersection
alors donner un énoncé qui change tout le temps, non merci
si d et d' sont parallèles ça ne change rien à rien par rapport au cas général
si elles sont confondues, oui les deux solutions sont confondues
si elles forment un angle de 60° : une seule solution ou une infinité
(la condition n'est pas A en leur intersection !)
si A est sur l'une d'elles ça ne change rien au cas général
si A est à leur intersection, 0 solution (en fait un triangle de dimension nulle) ou une infinité si l'angle est de 60°
voila
il n'y a plus qu'à rédiger et justifier tous ces cas particuliers proprement
oui mais deux droites parallèles ne forment pas un angle de 60° !!
et n'ont pas de point d'intersection
Je crois que je n'ai jamais dit que deux droites parallèles forment un angle de 60° ni qu'elles ont un point d'intersection.
l'énoncé a toujours été ça depuis le tout premier message
Je ne vois pas de droite D' dans l'énoncé du tout premier message :
On considère dans le plan une droite D. Soit A un point du plan. On cherche à construire tous les triangles équilatéraux AMM' avec
Annuler
connectez vous
Géometrie plane et dans l'espace en terminale