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Niveau quatrième
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Triangles et paralleles

Posté par
yuzarseef
17-02-15 à 23:25

soit un triangle ABC.A' milieu du coté BC.I milieu du segment AA'.La droite (BI) coupe le segment AC en D.
QUESTION: montrer que DC=2AD
Merci Bcp.

Posté par
Leile
re : Triangles et paralleles 18-02-15 à 00:00

Bonsoir à toi aussi.

trace  la // à (BI) passant par A'
elle coupe (AC) en H

place toi dans le triangle A'AH
on a I milieu de AA' et (A'H) // (ID) ==> d'après le théorème des milieux, D est milieu de AH
donc AD = DH

ensuite place toi dans le triangle BCD
on a A' milieu de BC et A'H // BD
==> d'après le théorème des milieux H est le milieu de DC
donc...

tu peux conclure ?

Posté par
yuzarseef
Triangle et paralleles 18-02-15 à 00:18

Je vous remercie infiniment Leile.

Posté par
Leile
re : Triangles et paralleles 18-02-15 à 00:45

je t'en prie,
bonne nuit

Posté par
leopol
re : Triangles et paralleles 18-02-15 à 10:58

Soit un triangle ABC :
-I milieu de BC
-J milieu de la médiane [AI]
-K l'intersection de BJ avec AC.
Démontrer que AK=2KC
L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique (GeoGebra) ou d'une feuille est indispensable.


Avant tout, traçons D, symétrique de B par rapport A. Nous obtenons le nouveau triangle BCD.

Étudions les milieux de BCD, tout d'abord, la symétrie que nous avons faite nous permet d'affirmer que A est le milieu de BD.
Ensuite, il faut démontrer que E est le milieu de DC. Pour ce faire, étudions le triangle DBC, AI passe par les milieux de
BD et de BC et est donc parallèle à DC. Ainsi dans BED, ED=2JA et dans BEC, EC=2JI, or on sait que JI est égal JA (milieu de AI) ! Donc EC=2JA=ED et EC=DE, et comme c'est sur le même segment, E est le milieu de CD.
Ainsi, pour résumer, dans le triangle BDC :
-A milieu de BD
-I milieu de BC
-E milieu de DC

Après ces démonstrations sur les milieux de BCD, on peut dire que (BE) et (CA) sont des médianes. Et l'intersection des médianes d'un triangle et un point situé aux \frac{2}{3} d'une médiane quelconque du triangle en partant de son sommet (théorème démontrable avec les vecteurs).
Ainsi K étant l'intersection des médianes BE et CA, on peut affirmer le fait que K se situe au \frac{2}{3} de CA en partant de C, et par logique vectorielle que \boxed{\text{AK=2KC}}

Le nom des points d'origine a été modifié



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