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triangles isométriques
bonjour à tous,
je bloque sur cette démonstration qui m'est moins évidente qu'elle en a l'air... Pourriez vous m'éclairer? Merci
ABCD est un carré de centre O. M 
[AB]. La perpendiculaire à CM par B coupe CM en I et AD en P. Qelle est la nature du triangle POM?
Voici le shéma:
Merci d'avance pour votre aide...
Amicalement,
Al Khwarizmi.
bonjour,
si tu places un repère par ex A (0;0) B(1;0) et D(0;-1) tu peux résoudre l'exo avec des équations de droites et leurs coeff directeurs,
M (m;0) C(1,-1) donc le coeff directeur de (CM) vaut 1/(m-1)
le coeff directeur de (BP) sera donc 1-m
(PB) a pour équation: y=(1-m)(x-1)
et P a pour coord (0;m-1)
pour le triangle POM on eut donc dire que
coeff directeur de (OM)= 1/(2m-1)
coeff directeur de (OP)= 1-2m
le triangle est rectangle en O
oui j'y avais penser mais justement je ne peux pas utiliser cela vu que je suis destiné à enseigner à des collégiens donc je ne peux qu'utiliser les outils qui sont à leur disposition.... (calcul d'angles, proproétés "de base", etc)
des collégiens de quel niveau?
en 3ème ils ont vu les coeff directeurs et les coord de points
quand tu as les coord tu peux aussi utiliser le calcul des distances et la réciproque de Pythagore pour prouver que le triangle est rectangle.
chez nous (en Belgique) ils ne voient pas encore ca en profondeur à ce niveau là... mais je suis sûr qu'il y a moyen de le démontrer sans utiliser cet outil là (qui est tout à fait correcte je suis bien d'accords) t'en penses quoi?
et tu es enseignant? où ca? tu resoudrais ca comme ca avec des eleves de 3 ème?je ne vis pas en Belgique et travaille aux émirats arabes unis.
je ne suis plus tellement au courant du pgm de 3ème en Belgique
qu'est ce que je t'envie... mais bon on sort du sujet... je te souhaite une bonne journée, moi j'essaie de le résoudre...
bonjour tout le monde, ou plutot... bon soir!
je ne m'en sors toujours pas avec cet exercice, j'ai réussi à le démontrer via les transformations du plan mais toujours pas avec les triangles isométriques, à l'aide!!!
Merci d'avance à tout ceux ou celles qui liront ce post
Amicalement,
Al khwarizmi
bonjour à tous,
moi non plus stokastik mais pourtant c'est bien un eexercice dans le chapitre "triangles isométriques" de mon cours. c'est le dernier et mon prof a l'habitude de palier les diffucltés, mais bon...
voici ma dem via les rotation, ça pourrait peut etre inspirer quelqu'un:
considérons la rotation de centre o et d'angle orienté -90°:
r (B)= c (car les diagonales d'un carré ont meme longueur et se coupent perpendiculairement en leur milieu)
de meme,
r (A)= B
r (D)= A
r (DA) = AB
r ([BP) = une perpendiculaire à BP par r (B)( car une droite et son image forment un angle égal à l'angle de rotation)
= " "" " C
or CM perpendiculaire à BP par hyp
= [CM
P = BP 
DA
r (P) = r (BP) r (DA)
= CM AB
= M
r (O) = O (car centre de rotation)
r (P) = M
r([OP]) = [OM] avec |OP|=|OM| et op perp à OM
sauf erreur bien sur
oui j'avais jetté un petit coup d'oeil sur ces deux triangles là mais le problème c'est qu'on n'aucune information sur ces deux triangles... enfin d'après moi et ce que dis l'hypotèse.. tu crois que c'est possible de démontrer qu'ils sont isométriques?
je pense qu'il faut se lancer dans le cas ACA car on a déjà les deux diagonales du carré qui ont meme longuer...
Donc DPO iso AMO
l'angle ODP = OAMde = 45°
|OD| = |OA| (car diagonales d'un carré ont meme longueur et se coupe perpendiculairement en leur milieu)
il reste plus qu'a montrer qu les angles en O sont égaux dans les deux triangles... il y a encore la perpendicularité des deux droites de l'hypotèse que je n'ai pas encore utilisé... mais comment...?
oui, c'est bien vu, avec ce que tu as dis on peux remarquer que les angles PBD et MCA ont meme amplitdude car;
BP perpendiculaire à CM
BD perpendiculaire à CA
PBD = MCA car des angles qui ont leurs cotés respectifs perpendiculaires 2 à 2 ont meme amplitude.
Est ce que ca nous avance? je suis sur que oui, je continu les calcul d'angle, merci
on pourrai aussi montrer que le triangle OPB est isométrique au triangle OMC,
comme on a déjà que l'angle en B = l'angle en C....
cela nous mainerai aussi à ce que |OM| = |OP|
enfin, je sais pas, vous en pensez quoi?
le troisième coté, faut montrer qu'il ont meme longueur dans les deux triangle...
pour l'instant on a C-A-?
PD = AM donc POD = MOA - DOP + AOM
= MOA
= 90
salut montana64,
tu suppose pleins de choses qui ne sont pas démontrées...
Où as tu vu dans l'hypothèse que |PD|=|AM|?
et je suis pas très bien ton raisonnement sur ton calcul d'angle... tu peux justifier stp?
Amicalement,
Al
Je ne comprends pas où tu en es Al-khwarizmi. Le triangle OPB est isométrique au triangle OMC, on est d'accord ? On en déduit que OM=OP.
oui mais faut démontrer et/ou justifier que OPB iso OMC...
tu as parlé du cas C-A-C, tu peux me le justifier stp? parce que je ne le vois pas.
Mince je me suis trompé, je pensais que PB et MC étaient des diagonales du carré donc PB=MC. Désolé.
on doit montrer que |OP|=|OM| et donc que:
soit triangle POD iso MOA
soit triangle POB iso MOC
Avec ce qu'on a dit plus haut il est effectivement aisé de justifier que les deux angles que tu as cité stokastik (BPD et AMC) sont égaux. Mais je ne comprends pas où cela nous mène...
Non, je voulais dire que les triangles BPD et AMC sont isométriques (angle-côté-angle). On en déduit que PD=MA et BP=MC ce qui permet de déterminer d'autres paires de triangles isométriques.
Salut à vous deux, je ne sais pas si le débat est clos, mais je propose ceci:
soit J le point d'intersection de (AC) et (BP). L'angle BJC est un angle aigu de 2 triangles rectangles: le triangle IJC rectangle en I et le triangle JOB rectangle en O. On en déduit l'égalité de leurs 2 autres angles aigus: Angle MCA = Angle PBD.
Avec ceci, on démontre facilement que les triangles MCA et PBD sont iso d'où PD=MA.
Il me semble que c'est la figure qui empêche de trouver la solution, car au niveau des 2 angles droits (en O et en I) elle est trop ramassée et on n'y voit rien. J'ai refait une figure en prenant M plus proche de B que de A, ça éloigne les points O et I. Après on voit.
MAIS OUI!!! Bien vu stokastk, tu passe par une étape intermédiaire si j'ai bien compris... tu montres que /\BPD et /\AMC sont isométriques ce qui a pour conséquence que |PD|=|MA| et |BP|=|MC| et tu utilises cette information dans des autres triangles (POD et MOA par exemple)
Typique de mon prof ça... toujours à ajouter un petit chouia pour qu'il n'y ait que les meilleurs qui répondent. Mais comment je vais faire à l'examen moi? Advienne que pourra.
Je n'ai pas encore lu ce que tu as dis prof2 mais je m'y lance, merci à tous, t'es trop fort stokastik 
Amicalement,
Al Khwarizmi
Ton I ju suppose que c'est BP MC...
Oui c'est une très bonne démonstration, et j'ai aussi refait la figure et c'est juste, I "s'éloigne" de O. Qu'est ce qu'il en faut de l'imagination pour réussir ces exercices!!! J'espère que j'en aurait assez à mon examen de géométrie de jeudi... 
En tout cas merci à tous.
Amicalement,
Al Khwarizmi
En fait au bout d'un moment je me suis convaincu que les données ne suffiraient pas pour qu'on ait deux côtés égaux pour déterminer deux triangles isométriques, alors j'ai regardé les angles des triangles dont un côté a une longueur qu'on retrouve ailleurs sur la figure.
A part ça, as-tu vu qu'avec l'égalité des angles POD et AOM on peut démontrer que le triangle POM est rectangle en O ?
Salut stokastik,
ça me fait plaisir de te savoir sur le forum, enfin... si t'es encore là!
Pour répondre à ta question, oui maintenant avec tout ce qu'on a, ça serait difficile de passer à coté de ça :
DOA = 90°
DOA = DOP + POA = 90°
DOP = AOM
et donc AOM + POA = 90° = POM
Mais c'est sympa de m'avoir dit la manière dont tu as raisonné et sans vouloir critiquer qui que ce soit, ça manque un peu ici mais c'est peut etre parce que vous etes tous de haut niveau et que vous vous comprenez directement, je sais pas...
Moi je m'étais enteté dans le fait qu'on avait pas utilisé la partie de l'hypothèse qui disait que MC était perpendiculaire à BP et je cherchais sans relâche une équation d'angle qui me montrerai que l'angle DOP = l'angle AOM (tu comprends ce que je veux dire?). Mais c'est impossible. Je retiendrai ton astuce pour l'examen.
En tout cas un énorme merci à toi stokastik et à tous les autres qui m'ont aidé sur cet exercice.
Amicalement,
Al Khwarizmi
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