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Triangles semblables
Bonjour,
Je suis en train de réfléchir à l'enseignement de deux notions du programme de collège (en troisième), le théorème de Thalès et les triangles semblables.
J'aimerais procéder comme suit mais ne sais pas si cela est possible :
1) Je fais découvrir aux élèves la notion de triangles semblables, en choisissant de définir deux triangles comme semblables s'ils ont leurs mesures d'angles deux à deux égales (d'ailleurs, je me demande si cette formulation est bien correcte).
2) Je souhaite ensuite faire démontrer que si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles, mais je voudrais le démontrer sans utiliser le théorème de Thalès. Or je me demande si cela est possible, et si oui, quelle en est la démonstration.
3) Une fois cette propriété démontrée, je souhaite en m'appuyant dessus faire démontrer le théorème de Thalès.
On pourrait me demander "pourquoi faire le point 2 avant le point 3 si le point 3 permet de faire le point 2 ?" C'est parce que je trouve que les démonstrations accessibles en collège du théorème de Thalès sont vraiment lourdes (en temps et en complexité) pour mes élèves. Si je peux démontrer le point 2 avant le point 3, alors le théorème de Thalès se démontre quasi instantanément : si deux triangles sont en configuration de Thalès (classique ou papillon), alors ils sont semblables . En effet, on s'appuie sur la caractérisation angulaire du parallélisme avec les angles alternes/internes ou correspondants, ce qui permet au passage de montrer l'importance et du parallélisme et de l'alignement des points dans un certain ordre. Les triangles étant semblables, leurs côtés sont proportionnels d'après le point 2, et le théorème de Thalès est démontré.
Après, si c'est impossible ou plus compliqué que de démontrer d'abord le théorème de Thalès, je passerai par celui-ci en premier puis ferai le chapitre sur les triangles semblables ensuite.
Merci d'avance pour vos lumières !
Bonsoir,
on se place dans le plan euclidien.
Ta définition des triangles semblables me semble correcte, mais délicate pour la suite.
Les angles, c'est compliqué si on veut être rigoureux.
Le point 2 me semble inaccessible au niveau collège. Et même au delà.
Surtout avec ta définition des triangles semblables.
Je ne vois pas ce que tu peux envisager comme démonstration de ce genre de chose.
J'exclue évidement les démonstration du genre « on identifie le plan à C . . . ».
Bonsoir,
Merci pour ta réponse, Verdurin. J'ai poursuivi mes recherches tout la journée et n'ai pas trouvé de moyen raisonnable de montrer le point 2 avant le point 3.
Ceci dit, j'ai trouvé un document intéressant qui relie le théorème de Thalès et les triangles semblables (pour celles et ceux que cela intéresserait...) : http://educmath.ens-lyon.fr/Educmath/ressources/ressources-pour-la-classe/per-une-proposition-d-etude-du-theoreme-de-thales-par-les-triangles-semblables-et-la-similitude/thales_nouveaux_programmes.pdf
Les triangles semblables sont pris pour objet d'étude. À force des les manipuler pour répondre à des questions précises posées par leur professeur, les élèves sont petit à petit amenés à conjecturer le théorème de Thalès et sa réciproque. Le parallélisme, l'alignement des points et la distinction sens direct - réciproque y sont travaillés de manière qui semble intéressante.
On peut faire de la physique : « l'expérience montre que . . .»
Mais ce n'est pas des maths.
Comme je suis vieux ( d'avant les maths modernes ) j'ai pu bénéficier de ce genre de « démonstration » pour les cas d'égalité du triangle.
J'avais trouvé ça très insatisfaisant.
Avec un peu plus d'expérience, je trouve ce genre de documents nuisibles.
D'une certaine façon ils disent que la géométrie euclidienne est la seule pensable.
Et il y a longtemps que l'on sait que ce n'est pas le cas.
Tu penses que faire des expériences, ce n'est pas faire des maths ? J'ai peut-être mal compris...
Je crois au contraire que faire manipuler (la fameuse partie "faire l'expérience de"), puis conjecturer, puis démontrer (quand c'est faisable dans les conditions actuelles du métier), c'est tout à fait faire des mathématiques. Les chercheurs en didactique semblent le croire aussi, études théoriques et expérimentales à l'appui. Les formateurs et les inspecteurs véhiculent également ce message - même s'ils n'ont pas parole d'évangile, nous en conviendrons.
Quant au "genre de documents", je dirais avec modération qu'il y a du bon grain et de l'ivraie dans ce que l'on trouve désormais partout sur le net, et qu'on ne peut probablement pas tout mettre dans le panier des "nuisibles".
Je verrai bien sur le terrain ce que cela donne... et puis peut-être qu'avec "l'expérience" (cette fois-ci, celle du temps et de la pratique !), je rejoindrai ton point de vue... ou non.
Tu penses que faire des expériences, ce n'est pas faire des maths ? J'ai peut-être mal compris...
Tu as bien compris.
Faire des expériences, ce n'est pas faire des maths.
C'est utile pour aborder un problème de maths, je ne le nie pas, et je suis partisan de ce genre d'approche.
Mais on commence à faire des maths quand on essaye de démontrer les résultats des expériences.
Ce n'est pas en écrivant un programme qui montre que tous les nombres pairs de quatre à un milliard sont somme de deux nombres premiers que je fait avancer les mathématiques.
Juste à titre de rappel, si deux triangles tracés sur une même sphère ont des angles égaux alors ils sont isométriques. Et il y a des triangles équilatéraux qui ont trois angles droits.
En gros il me semble effectivement nuisible de faire croire que la géométrie euclidienne, la seule où il y a des triangles semblables, est plus « naturelle » que les autres.
on commence à faire des maths quand on essaye de démontrer les résultats des expériences.
Sur ce point, nous sommes d'accord puisque j'ai dit :
faire manipuler[...], puis conjecturer, puis démontrer [...], c'est tout à fait faire des mathématiques.
Quant à la suite, en ce qui concerne les géométries non euclidiennes, ma position est différente de la tienne - et je pense que celle des chercheurs en didactique aussi.
Je ne sais pas où tu enseignes (ou as enseigné), mais pour ma part, il me paraît pour le moins compliqué de faire travailler des géométries non euclidiennes à mes collégiens (sans parler du fait que ce serait totalement hors programme...). La géométrie euclidienne, celle du plan, de la feuille de papier, de l'espace proche où l'on ne sent pas la courbure de la Terre et donc où tout a l'air "plat", et dans lequel on évolue depuis tout petit, est quand même celle avec laquelle des élèves de 14 ans sont le plus familiers, et donc qui est la plus naturelle pour eux. Essayer de leur faire comprendre que certains triangles équilatéraux ont trois angles droits, ça, ce serait à mon avis nuisible, car cela va à l'encontre de leurs conceptions naturelles.
D'ailleurs, les recherches en didactique de la géométrie - notamment celle de l'école primaire - indiquent que les élèves conceptualisent mieux les notions de géométrie (euclidienne) lorsqu'elles sont reliées à leur environnement familier (puisqu'on parle d'angles droits, la feuille de papier en a bien quatre, les murs de la classe en ont aussi, tout comme les coins de la table, etc. et ce sont autant de points d'appui pour l'enfant pour conceptualiser la notion de perpendicularité). On ne leur parle pas de figures "courbées" appartenant à un environnement sphérique, et c'est à juste titre puisque ce genre d'environnement n'est pas naturel pour eux.
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