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triangles semblables, aires...
Salut à tous, j' aurais besoin de votre aide pour un exercice niveau seconde :
ABCD est un carré de côté 4 cm.
I est le milieu de [AB].On construit le rectangle AEFD tel que E €[AB) et IE=IC.
1° En utilisant la caractérisation des triangles semblables par la proportionnalité des longueurs, montrer que les triangles AEF et EFC sont semblables.
2° Ecrire le rapport entre les aires des deux triangles AEF et EFC.
3° En déduire le rapport entre les aires des deux rectangles AEFD et BEFC.
Pour commencer j' ai calculer IC avec le théorème de pythagore, ça donne (IC²=IB²+BC²) et ça donne IB=2rac5.
Ensuite comme IE=IC, on peut trouver AE= IE-IA ce qui donne AE=2rac5-2 et FC=FD +DC ce qui donne FC=2rac+2.
Après, j' ai utilisé phytagore pour calculer EC²(EC²=EF²+FC²) ce qui donne EC²=40+8rac5 et AF²(AF²=EF²+AE²) ce qui donne AF²=40-8rac5.
Voila, ce que j' ai fais est correct ? Et comment faire la suite ?
Merci d' avance
IC = 2V5 : exact (et non IB !).
AE = IC + IA = IE + IA (c'est + , car AE > IE; il s'agit de longueurs).
CF = BE = IC - IB.
Après ces calculs, les longueurs des deux côtés de l'angle droit seront connues pour chacun des
triangles AEF et EFC.
Il ne te restera plus qu'à calculer le rapport de ces côtés et à montrer qu'il est le
même dans chaque triangle.
OK, mais pour le rapport des côtés je trouves pas les mêmes.
AE/EF=2V5+2/4= 1+V5/2 et EF/FC= 2/-1+V5
Comment faire ?
Si, les deux rapports sont égaux !
Multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée de ce dernier.
A oui c' est vrai faut mettre au même dénominateur et au final ça donne bien AE/EF=EF/FC=4/2V5-2 donc AEF et EFC sont semblables.
2)aire AEF/aire EFC= 4V5+4/4V5-4 = (4V5+4)(4V5+4)/(4V5-4)(4V5+4)= 9+8V5 aprés simplification. C' est correct ?
Bonjour,
Priam ne semble pas connecté. Je me permest d'intervenir.
2)
AE/EF=(1+V5)/2
Lorsque le rapport des côtés de triangles semblables est k, le rapport de leurs aires est k² (car : aire triangle = base*hauteur /2).
base du 2e = base 1er * k
hauteur du 2e = hauteur 1er * k
Quand tu multplies les 2 dimensions entre elles , tu comprends bien que l'aire est multipliée par k². Ceci n'a pas à être dit.
donc aire AEF/aire EFC=[(1+V5)/2]²=(1+2V5+5)/4=(6+2V5)/4=(3+V5)/2
3)
aire AEFD = 2*aire AEF
aire BEFC=2* aire EFC
Quand tu fais le rapport, tu simpifies par 2 donc :
aire AEFD/aire BEFC=(3+V5)/2
...sauf inattentions...
A+
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