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Triangles semblables et proportionnalité - je suis bloqué !
ABC est 1 triangle, E le point de [BC] tel que BE = 1/3 BC
La parallèle à (AB) menée par E coupe (AC) en F et la parallèle à (BC)
menée par F coupe [AB] en G.
Il faut démontrer que l'aire du triangle EFC est égale à 4 fois l'aire
du triangle AGF.
Sur la figure, je vois que l'on a une configuration de Thalès : AC et
AB sont sécantes en A, de plus on sait que FG est parallèle à CB.
Ce qui fait qu'on peut établir les rapports suivants : AC/AF = FG/CB
= AB/AG.
Et on peut conclure que AFG et ABC sont semblables.
Mais cela ne répond pas du tout à la question posée.
Pour établir que EFC = 4(AGF), il faut d'abord que je démontre que ces
deux triangles sont semblables, donc il faut que leurs angles soient
égaux deux à deux.
Je suis complètement perdu dans tout ça, je n'arrive pas à trouver de
quoi établir un rapport quelconque entre le triangle ABC et le triangle
EFC. 
Pouvez-vous m'aider dans ce problème ?
Merci d'avance.
bonjour
permettez moi de vous répondre.
tout d'abord o, choisit le repère (A,AB,AC) dans lequel on va exprimer
tous les vecteur. (ce repère n'est pas orthonormé mais ce n'est
pas nécessaire).
dans ce repère :
BE=1/3BC ; (en vecteurs)
BE=1/3(BA+AC)
=-1/3AB+1/3AC
CE=2/3CB=-2/3AB+2/3AC
EF parallèle à AB donc le théorème de thalès donne :
CF/CA=CE/CB ; (en mesure algèbrique cette fois)
donc CF/CA=2/3 donc CF=2/3CA ( en mesure algèbrique)
comme C,F et A sont alignés donc CF=2/3CA ( en vecteurs cette fois).
CF=2/3CA=-2/3AC. ; ( en vecteurs)
AF=AC+CF ; chasles
= AC-2/3AC=1/3AC
AF=1/3AC.
GF parallèle à BC donc le théorème de thalès donne :
AG/AB=AF/AC ; (en mesure algèbrique cette fois)
donc AF/AC=1/3 donc AG=1/3AB ( en mesure algèbrique)
comme A,G et B sont alignés donc AG=1/3AB ( en vecteurs cette fois).
AG=1/3AB ; ( en vecteurs)
en résumé:
CE=-2/3AB+2/3AC
CF=-2/3AC
AF=1/3AC
AG=1/3AB
l'aire du triangle AGF est:
AGF=||AG^AF|| ; la norme du produit vectoriel AG^AF.
AGF=||(1/3AC)^(1/3AB||
= ||1/9AC^AB||
=1/9||AC^AB||.
l'aire du triangle EFC est:
EFC=||CE^CF|| ; la norme du produit vectoriel CE^CF.
CE^CF=(-2/3AB+2/3AC)^(-2/3AC)
=(-2/3)(-2/3)(AB^AC)
=4/9(AB^AC)
donc
EFC=||CE^CF||
=||4/9(AB^AC)||
=4/9||AB^AC||
EFC=4(1/9||AB^AC|| )
=4AGF
voila
bon courage
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