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Triangles semblables et proportionnalité - je suis perdue !
Bonjour, je suis empêtrée dans un énoncé et je n'avance pas
du tout :
ABC est 1 triangle, E le point de [BC] tel que BE = 1/3 BC
La parallèle à (AB) menée par E coupe (AC) en F et la parallèle à (BC)
menée par F coupe [AB] en G.
Il faut démontrer que l'aire du triangle EFC est égale à 4 fois l'aire
du triangle AGF.
Sur la figure, je vois que l'on a une configuration de Thalès : AC et
AB sont sécantes en A, de plus on sait que FG est parallèle à CB.
Ce qui fait qu'on peut établir les rapports suivants : AC/AF = FG/CB
= AB/AG.
mais cela ne me permet pas de répondre à la question posée.
Pour établir que EFC = 4(AGF), il faut sûrement que je démontre que ces
deux triangles sont semblables, donc il faut que leurs angles soient
égaux deux à deux. Mais je ne suis même pas sûre qu'il faille
en passer par là ???
Je suis complètement perdue dans tout ça car je n'arrive pas à trouver
de quoi établir un rapport quelconque entre le triangle AGF et le
triangle EFC.
Pouvez-vous m'aider SVP ? Merci d'avance.
Les triangles ABC et FEC sont semblables.
AB/FE = BC/EC
AB/FE = BC/(BC-BE)
AB/FE = BC/(BC-(1/3).BC)
AB/FE = 1/(2/3)
AB/FE = 3/2
FE = GB
->
AB/GB = 3/2
(AG+GB)/GB = 3/2
2(AG+GB) = 3GB
2AG = GB
et donc :
2AG = FE
Les triangles EFC et AGF sont semblables.
Leurs aires sont donc dans le rapport de (FE/AG)² = 4.
Aire(EFC) = 4.aire(AGF)
-----
Sauf distraction. 
Merci JP, mais comment puis-je en préambule justifier que ABC et
FEC sont semblables ? Uniquement parce qu'ils sont en configuration
de Thalèse ?
Les triangles ABC et FEC ont l'angle (ACB) en commun.
angle(CFE) = angle(CAB) (angle à cotés directement //)
angle(FEC) = angle(AGF) (angle à cotés directement //)
-> les triangles ABC et FEC ont leurs angles égaux 2 à 2 et donc les
triangles ABC et FEC sont semblables.
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