c'est un exo d'internet, mais il n'y a pas la réponse!

Merci.

Tu débutes dans les matrices en ayant le bac+5. bizarre bizarre....
Ps : pas mal la golf à jérémie.

Connais tu le th de Cayley hamilton ?(ça sera un bon début).

Non

réponds!

On est que 2, les autres sont partis manger!

det(a - lambda i) est le polynome caractéristique de ta matrice.

Tu recopies ta matrice avec tous des lambda sur la diagonale

lambda est appelé valeur propre.

Ps : Sais tu calculer des déterminants sur des matrices de dim>3 déjà(mineur, cofacteur etc etc...)

Pour trigonaliser, essaie de diagonaliser avant, avançons petit à petit.

Pour votre culture algébre tiré de l'arabe al-djabar, oeuvre de AL-Khawarismi.

oui;
2 est valeur propre,
4 est valeur propre double. Je pense que c'est pour cela que l'on ne peut diagonaliser.

Nous avons 2 vecteurs propres :

u(1, 1, 1) et v(1, -1, 1).

Tu sais que les 3 semaines qui s'annoncent s'avèrent difficiles:

Maths sup + une partie de spé. à apprendre.

Marathon qui va s'avérer difficile.

On apelle ça la manualisation des mathématiques.

T'as un diplome équivalent au master2 en LMD, maths sup tu l'as fais, je comprends rien......
T'as oublié c'est ça ou bien:?

bon alors, dans quel cas, on peut pas diagonaliser?

en passant outre cet exemple asphyxiant.

... et comment on fait pour trianguler le cas échéant.

aucune idée, saurais(pas le poisson)-tu me définir la somme directe de deux sous-espaces vectoriels ?

Guillaume (Correcteur) AU SECOURS, je me noie dans la matrice!!

Ps : un + entouré d'un cercle.

quelle belle métaphore filée hihihi.

Tu peux pas appeller Guillaume (seul webmaster présent now)  sur son portable?

Non, je ne connais que les signaux analogiques tels ceux transmis par le général de Gaulle depuis Londres lors de l'appel à la Résistance en 1942.

J'aurais bien aimé faire un tour en zepellin d'ailleurs.

Traite de plaisanteries, j'ai un p*utain de concours à réussir

Rendez vous sur le tchat wanadoo. J'en ai marre de faire des maths.

Arrête de poster david, comme ça, un correcteur va venir

Waoooww.
Encore un dialogue hallucinant.

Revenons à l'algèbre, cela vaudra mieux.

Je ne vais pas te faire un cours sur la diagonalisation, ni sur la trigonalisation. J'en serais incapable, cela fait bien longtemps maintenant. Je dirais juste qu'a priori, si mes souvenirs sont bons, c'est plus facile de trigonaliser que de diagonaliser (il faut remplir moins d'hypothèses, quoi).
Et dans un cas non théorique (il y a plein de jolis théorêmes dans tous les sens, mais dans la pratique; quand il faut calculer, y a pas toujours le choix...), disons l'exemple que tu as donné en premier, il y a une méthode fabuleuse: le pivot de Gauss.

L1:   7  8  4
L2:   2  1  3
L3:   6  2  2

Je commence en faisant des combinaisons linéaires de (L2 et L1) puis (L3 et L1) pour éliminer le premier coefficient:


L1 reste inchangée
L2 devient (L2 - 2/7. L1)  (ou bien 7L2 - 2L1, ce qui permet de garder des coefficients entiers...)
L3...

Et ainsi de suite, en éliminant sur le système obtenu les coefficients situées en deuxième colonne, en-dessous de la deuxième ligne.

Comme la résolution du système associé, quoi.

Jusqu'à ce que j'aie un système triangulaire...


Ca va? (j'ai un peu la flemme d'écrire tout le bazar...).


A+
biondo

Oui, j'avais pas vu la triangulation sous cet angle.

Mais dans mon exemple de 11:44, pq on peut pas diagonaliser cool?

excuse moi, mais mon niveau (n'est pas au ras des pâquerettes, mais presque) est T+1, pour moi, Gauss sert pour les systèmes d'équations, et pour les matrices, j'ai du mal à me représenter.

Tu gauss à tout-va toi alors?

Yep.
Je gausse dès que je peux.

En fait, une matrice n'est rien d'autre que la représentation d'une application linéaire. En l'occurrence, dans le cas qui nous occupe, je peux très bien définir l'application suivante, de R3 dans R3:

(x,y,z) ------>  (7x+8y+4z; 2x+y+3z; 6x+2y+2z)

Et donc manipuler les lignes de la matrice c'est la même chose que manipuler les équations d'un système... Les x,y,z, dans un système, il servent à rien, d'ailleurs. Juste à se rappeler qu'on les cherche...

Cela dit, d'un seul coup j'ai un doute. Faudrait que je vérifie exactement ce qu'on entend par trigonalisation... Niveau valeurs propres, tout ca. Là, comme je suis au boulot, ca va pas le faire.


Et pour en revenir à ta question sur "pourquoi on peut pas diagonaliser", comme ca c'est un peu chaud. Ca veut dire que le sous-espace propre associé à une au moins des valeurs propres n'est pas de dimension égale à la multiplicité de la valeur propre dans le polynôme caractéristique de la matrice... Donc ca n'aide pas beaucoup à première vue.

Courage,

biondo

Faudrait appeller un ami...
Moi, je suis pas au boulot, j'suis au chômage.

Ben oui,

ya que deux valeurs propres (2,4), alors que le système est de dimension 3, ça suffit pas pour expliquer?

Non, ca suffit pas (hélas).
Par exemple:
1 0 0
0 1 0
0 0 1

a une seule valeur propre, et le système est de dimension 3. Pourtant elle est bien diagonalisable.

Il faut plus d'arguments...

A+
biondo

Mmmmm., tu aimes les enigmes. (tu ne serais pas par hasard un fan d'anthony hopkins?)

ettt quelles sont les autres arguments STP?

Une autre question alors :

Qu'est ce que ce sujet vous inspire :

Réduction des matrices hermitiennes

J'aime bien Anthony Hopkins, mais ca n'a rien à voir.
Comme je le disais, pour les arguments qui permettent de diagonaliser, en général on utilise la dimension des sous-espaces propres associés.

DOnc on calcule la dimension des noyaux de (M-2.Id) et (M-4.Id) si 2 et 4 sont bien les valuers propres (je n'ai pas vérifié).

Pour celui de M-2.Id, il doit y avoir un théorême qui te dit qu'il est de dimension 1 (à vérifier cependant, j'ai oublié ces trucs-là).

Pour M-4.Id, à toi de faire... Il faut calculer son rang, ce qui te donnera la dimension de sous-espace propre (par théorême du rang). Il doit être facile de montrer que le rang est au moins 2 (une sous-matrice extractible de rang 2 est c'est gagné), donc que le noyau est de rang inf&érieur à 1, et du coup elle n'ets pas diagonalisable (car alors le noyau serait de dimension 2). Mais si tu débutes, ca fait un epu beaucoup peut-être.

C'est pour cela que je restais énigmatique...


A+
biondo

Pour la réduction des matrices hermitiennes (à vérifier encore, avec l'âge, la mémoire nous joue parfois des tours):

Une matrice hermitienne est diagonalisable, et ses valeurs propres sont réelles...

A+
biondo

Quand on dit :

L2 valeur propre double pour l'équation caractéristique, ça veut dire quoi vpd?

Ca veut dire que quand on en arrive à une factorisation du type :
(...)(L-1)²=0   donc L=1 est valeur propre deux fois?

Merci de lever ce mystère au sein du grand thème de la réduction des endomorphismes.

Et au fait,

Question subsidiaire :
comment on fait pour changer de base, quand la matrice n'est pas diagonalisable?

Aller, un petit

Tout seul va !!!!

ah ah ah lol mdr...


(je suis tombé amoureux de ce smiley)

Non, pas tout seul.

"valeur propre double pour l'équation caractéristique".

Ca veut dire qu'effectivement, tu peux factoriser (X-L) deux fois dans le polynôme caractéristique. On appelle cela aussi l'ordre de multiplicité. Et même l'ordre de multiplicité algébrique pour les plus assidus.

Ca ne veut pas dire que L est valeur propre deux fois, cependant. Enfin ca dépend de ce que tu veux dire par là. Si tu entends qu'on peut trouver deux vecteurs propres indépendants, c'est NON. Pas forcément en tout cas. Lorsque c'est le cas, cela veut dire que la dimension du sous-espace propre est égale à l'ordre de multiplicité. Et si c'est vrai pour toutes les valeurs propres, la matrice est diagonalisable...

A+
biondo

Ok, je m'avoue vaincu. Je suis pret à me retirer dans mon bounker(enfin on parle plutot de blauckhaus dans notre région) tel le général humilié par sa fratrie soldatesque.

J'ai une question pour vous :

voir "tétraèdre" dans "autres" (la section réservée à l'élite.)

Merci, Biondo pour ta sollicitude,

comme on dit : tu remettra 100 fois l'ouvrage sur ton métier

(je sais de quoi je parle).

Bac +5 , je te tire mon chapeau(enfin ma casquette)

Ps : casquette, outil "extravestimentaire" réservée à l'élite HLM.

avec un "s" ça sera déjà mieux