Bonjour,
en fait ta question pourrait se formuler ainsi:
quels sont les ensembles qui ne sont pas boréliens?
La question possède des réponses non triviales, en fait trouver un non borélien est quelque chose d'extrêmemt difficile, si bien que, si tu refuses l'axiome du choix, tu n'en trouveras pas.
En fait les boréliens sont des intersections et des unions dénombrables d'ouverts et de fermés, et de leurs complémentaires.
C'est très difficile de ne pas être dans cette situation.
Tout le monde s'est posé la même questio que toi, mais c'est très difficile de ne pas être borélien, alors dit toi que tu es toujours dans le cas où tu es borélien, et ca t'éviteras des migraines.
A+

Quand on parle de LA tribu borélienne de R, on veut parler de la plus petite tribu contenant les ouverts de R. Elle est, de manière équivalente, engendrée par les intervalles. Elle contient en particulier les fermés de R, mais aussi l'ensemble Q, les intervalles semi-ouverts...

On peut considérer d'autres tribus pour R, généralement triviales: la tribu composée uniquement de R et du vide, ou la tribu contenant toute les parties de R. Mais on ne parle plus de tribu borélienne.

Une autre tribu est souvent utilisée: c'est la tribu engendrée par la tribu borélienne et les parties d'ensembles de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue. C'est une tribu strictement plus grande que la tribu borélienne, mais elle n'apporte pas grand chose de nouveau car les éléments que l'on rajoute ne sont pas constructifs.

Oui elle apporte beaucoup car la mesure de Lebesgue est ainsi complète et on a un théorème d'unicité (Carathéodory).
On a même plus que çà, mais c'est surtout ceci qui sert.
A+

Exemple de construction d'un non-borélien (avec axiome du choix)!

Choisis un système (a_i) de représentants de R/Q dans [0,1] (ceci nécessite l'axiome du choix).

Notons A l'ensemble de ces représentants et supposons par l'absurde que A est borélien, il est alors Lebesgue-mesurable.

R est la réunion disjointe des A+q, avec q parcourant Q. Donc sachant que la mesure de R est infinie, la mesure de A est nécéssairement strictement positive.

Mais si on se restreint à la réunion de A+q avec q parcourant les rationnels compris entre 0 et 1, l'ensemble obtenu est de mesure infinie et inclus dans [0,2]. C'est absurde, et donc A n'est pas mesurable.

Rajouter des ensembles de mesure nulle, c'est sans intérêt pour 99% des applications. Mais cela dit, autant ne pas faire de distinction entre mesure et mesure complète (en complétant systématiquement!...)

Pour un mathématicien pure, considérer des sous ensembles de mesure nulle comme des ensembles de mesure nulle c'est extrêmement important. Sinon ca ne doit pas servir dans la vie de tous les jours...
Ca dépend de l'utilité qu'on en a, c'est sur, mais c'est comme tout en maths.
A+

ok merci à vous deux
c'est bien ce que j'avais compris presque tout R est un borelien en considerant l'axiome du choix

donc mon ensemble representant une reunion d'intervalles de R est une tribu borelienne de R

Tous les ensembles de R 'constructibles' (qui ne font pas intervenir l'axiome du choix) sont boréliens.

Une réunion d'intervalles n'est pas une tribu borélienne, mais un borélien de R. Fais attention à la terminologie