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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
tribu engendrée
Posté par maxxiiime
Bonjour,
Je ne comprends pas du tout le concept de tribu engendrée.
Voila mes questions.
Soit (E,T) un espace mesurable avec E un ensemble quelconque et T une tribu sur E.
On a donc que T vérifie par définition :
T
E
T
T est stable par union finie : A,BT
A
BT
T est stable par passage au complémentaire : ATE\AT
On définit donc grâce à cette notion de tribu, la tribu engendrée par une famille de sous-ensemble S de E (autrement dit un ensemble d'éléments de P(E)).
On dit que la tribu engendrée 
(S) par S est la plus petite tribu sur E telle que S(S).
Je comprends cette définition.
Mais en pratique, dans cet exercice, je dois déterminer (S) avec E un ensemble quelconque non vide et S={A : A⊂E, A dénombrable ou E\A dénombrable}.
Je n'ai pas la moindre idée de comment faire le travail...
Merci d'avance
Bonjour,
Ta définition est fausse.
Mis à part ça, l'idée pour ce genre de questions est de construire une tribu qui contient ce que tu veux, de manière evidente, puis de remarquer que toute tribu contenant ce que tu veux, contient obligatoirement la tribu que tu as mis en évidence.
quelle définition est fausse ?
et oui votre remarque parait assez logique
Pour construire ma tribu engendrée je ne sais pas vraiment comment décrire les éléments de S...Alors à partir de là, compliqué de poursuivre..
Ta définition de tribu. On demande la stabilité par réunion dénombrable, pas par réunion finie.
Pour ta tribu engendré, est ce que par hasard, ton S ne serait pas déja une tribu?
oui pardon c'est bien union dénombrable !
je cherche si S est une tribu :
-Vide est inclu dans E, et vide n'a pas d'éléments donc est fini donc dénombrable
-Soit An une famille d'éléments de S, je veux montrer que l'union des AnS
An est une union dénombrable d'ensembles soit dénombrables soit de complémentaire dénombrables
Je bloque...
Pour le passage au complémentaire :
Soit AS
On a que AE
Si A est dénombrable, alors E\AS car E\(E\A)=A est dénombrable
Si A est indénombrable...... bloqué encore
mais être dénombrable n'implique rien sur son complémentaire si ?
par exemple 
est dénombrable mais 
\ ne l'est pas.
Mais 
\ est dénombrable.
Ca dépend de si E est, ou non, dénombrable ou pas
Non, mais si E est dénombrable alors S=P(E)... qui est évidement une tribu.
De sorte que tu peux supposer E non dénombrable.
Ok erreur de raisonnement je me corrige pour le passage au complémentaire :
Soit AS donc on a deux cas :
- A est dénombrable, alors E\AS car E\(E\A)=A est dénombrable
-E\A est dénombrable
Dans les deux cas, E\AS
Donc S est bien stable par passage au complémentaire
je ne vous suis pas pour l'union fini des An, famille d'éléments de S.
que dire de An ?
C'est un ensemble dénombrable d'ensembles dénombrables ou de complémentaires dénombrables.
Soit tous les An sont dénombrables et donc une union d'ensemble dénombrable donne un ensemble dénombrable.
Mais si il existe au moins un Am qui a uniquement son complémentaire dénombrable, je ne sai spas quoi dire
Ben si l'un des A_n, disons A_0, a son complementaire denombrable alors le complémentaire de la réunion des A_n est plus petit (contenue dans celui de A_0) donc dénombrable.
Tu prend une famille denombrable d'éléments de S, on veu montrer que
est dans S.
Si tous les sont dénombrables, alors tex]\bigcup_i A_i[/tex] est dénombrable et est donc dans S.
Sinon, l'un au moins des A_i, disons quitte à renuméroter, A_0 est non dénombrable, et donc de complémentaire dénombrable vu que A_0 est dans S.
Donc , comme un sous ensemble d'un ensemble dénombrable est dénombrable, on en déduit que
est de complémentaire dénombrable et donc dans S.
super ca marche bien avec un A_n qui n'est pas dénombrable.
je dois faire une récurrence sur le nombre de A_n non dénombrable en renumerotant les A_n pour montrer que Ca marche quelque soit le nombre de A_n non dénombrable ?