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Niveau Reprise d'études
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Tribu engendrée

Posté par
Jepoti213
14-10-21 à 11:42

Bonjour voici ma question :


Déterminer la tribu de R engendrée par {[0,1], [0,2]} .

Je dois donc chercher {[0,1], [0,2]}

Je ne sais pas comment commencer?

Posté par
jsvdb
re : Tribu engendrée 14-10-21 à 11:48

Bonjour Jepoti213.
commençons par travailler sur les définitions : les maitrises-tu ?
Commence déjà par donner la définition claire de ce qu'est une tribu et de voir ce que tu peux déduire de cette définition.
Puis tu peux également donner la définition de ce qu'est une tribu engendrée.

Posté par
Jepoti213
re : Tribu engendrée 14-10-21 à 12:01

Bonjour, oui je maîtrise les définition
Soit E un ensemble non vide.
X est une tribu si :
E appartient à X
Stabilité par union dénombrable et par passage au complémentaire

La tribu engendre par X est la plus petite tribu contenant X, c'est aussi l'intersection de toute les tribu qui contiennent X

Posté par
jsvdb
re : Tribu engendrée 14-10-21 à 12:10

Eh bien ! que déduire de ces définitions pour donner des éléments de ce que tu cherches ?
Une tribu engendrée est une tribu, donc \sigma \{[0,1],[0,2]\} doit contenir \R, donc \emptyset et quoi d'autre sachant qu'on doit avoir stabilité par union dénombrable et complémentarité ?

Posté par
jsvdb
re : Tribu engendrée 14-10-21 à 12:13

Notons T = \sigma \{[0,1],[0,2]\} .

On a donc \{\emptyset,[0,1], [0,2], \R\} \subset T

Posté par
Jepoti213
re : Tribu engendrée 14-10-21 à 12:20

Elle doit donc contenir le complémentaire de [0,1], le complémentaire de [0,2] et [0,1]U[0,2] et le complémentaire de  [0,1]U[0,2]

mais je comprends pas pourquoi on fait cela par ce qu'on cherche c'est la tribu engendré mais la j'ai l'impression qu'on cherche la tribu {[0,1], [0,2]}

Posté par
jsvdb
re : Tribu engendrée 14-10-21 à 12:45

Oui, on cherche une tribu, la plus petite possible, et elle doit contenir [0,1] et [0,2]
Comme tu l'as dit, la stabilité par passage au complémentaire fait que T contient aussi [0,1]c et [0,2]c.
Elle doit être stable par réunion dénombrable, donc [0,1]\cup[0,2] \in T.
Mais [0,1]\cup[0,2] = [0,2] est déjà dans T.

Du coup, on vient de dégoter deux nouveaux ensembles dans T.

Et donc \{\emptyset,[0,1], [0,2],[0,1]^c, [0,2]^c, \R\} \subset T

Est-ce qu'il y en a d'autres ? (la réponse est oui)



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