Bonjour Jepoti213.
commençons par travailler sur les définitions : les maitrises-tu ?
Commence déjà par donner la définition claire de ce qu'est une tribu et de voir ce que tu peux déduire de cette définition.
Puis tu peux également donner la définition de ce qu'est une tribu engendrée.

Bonjour, oui je maîtrise les définition
Soit E un ensemble non vide.
X est une tribu si :
E appartient à X
Stabilité par union dénombrable et par passage au complémentaire

La tribu engendre par X est la plus petite tribu contenant X, c'est aussi l'intersection de toute les tribu qui contiennent X

Eh bien ! que déduire de ces définitions pour donner des éléments de ce que tu cherches ?
Une tribu engendrée est une tribu, donc doit contenir , donc et quoi d'autre sachant qu'on doit avoir stabilité par union dénombrable et complémentarité ?

Notons .

On a donc

Elle doit donc contenir le complémentaire de [0,1], le complémentaire de [0,2] et [0,1]U[0,2] et le complémentaire de  [0,1]U[0,2]

mais je comprends pas pourquoi on fait cela par ce qu'on cherche c'est la tribu engendré mais la j'ai l'impression qu'on cherche la tribu {[0,1], [0,2]}

Oui, on cherche une tribu, la plus petite possible, et elle doit contenir [0,1] et [0,2]
Comme tu l'as dit, la stabilité par passage au complémentaire fait que T contient aussi [0,1]^c et [0,2]^c.
Elle doit être stable par réunion dénombrable, donc .
Mais est déjà dans T.

Du coup, on vient de dégoter deux nouveaux ensembles dans T.

Et donc

Est-ce qu'il y en a d'autres ? (la réponse est oui)

Je ne vois pas d'autres...

Au hasard je dirai donc aussi

je n'arrive pas a voir comment tu obtiens le complémentaire de ]1,2]

Du coup :



A priori je n'en vois pas d'autres.
Donc il semblerait que ce soit une égalité maintenant (et plus une simple inclusion) et T serait la tribu cherchée. A vérifier !

Et comment on sait quand est-ce qu'il n'y a plus d'éléments…?

Faisons ce petit entraînement :
Soit E un ensemble et soient A, B, C des parties de E. On cherche la tribu {A,B,C}
Il est toujours facile de rendre l'ensemble {A,B,C} stable par complémentarité en ajoutant les complémentaires : cela donne {A,B,C,A^c,B^c,C^c}.
Donc, la première chose à faire quand on veut chercher une tribu engendrée, c'est de prendre tout de suite les complémentaires des ensembles qu'on nous donne.
Puis, on fait toutes les réunions possibles.
Mais après, le nouvel ensemble obtenu n'est possiblement plus stable par complémentarité.
Donc, on rajoute les complémentaires des nouveaux ensembles.
Etc etc
A priori, le processus peut s'arrêter ou non.
Dans le cadre de ce fil, le processus va s'arrêter car on ne donne qu'un nombre fini de parties de .
Je pense que dans mon post 16-10-21 à 22:25, le processus est terminé ... mais à vérifier !

Une fois que j'ai trouvé que ]1,2] et son complémentaire sont bien dans la tribu.

Je dois aussi vérifier que ]1,2] et son complémentaire en union avec les autres éléments sont bien dans la tribu.

Ma question est si je vérifie que]1,2] en union avec chaque terme (1 seul a la fois) de la tribu est bien dans la tribu, est ce que je dois faire de même avec son complémentaire ou alors c'est automatiquement dedans ?

Bah oui, dès que tu rajoutes des éléments à ceux qui existent déjà, tu dois continuer le processus.
Donc, pour un ensemble de parties donnés on fait dans l'ordre :

- stabiliser par complémentarité
- stabiliser par réunion dénombrable
- stabiliser par complémentarité
- stabiliser par réunion dénombrable
- stabiliser par complémentarité
- stabiliser par réunion dénombrable

etc etc

si à un moment donné, une stabilisation ne donne donne plus de nouveaux termex, c'est fini, c'est que tu es arrivé à la tribu engendré.

Donc par exemple, si E est un ensemble, et A est une partie de E alors la tribu engendré par A va se construire de la façon suivante :

{A}

{,A,E}

{,A,A^c,E}

{,A,A^c,AA^c,E}

Mais celui en rouge est identique à celui en bleu donc ({A}) = {,A,A^c,E}

Avec deux parties A et B

{A,B}

{,A,B,E} : on a rajouté vide et l'espace

{,A,B,A^c,B^c,E} : on a stabilisé la complémentarité

{,A,B,A^c,B^c,AB, AB^c,BA^c,B^cA^c,E} : on a stabilisé par réunion dénombrable.

Si on poursuit ici, va-t-on trouver un autre ensemble à priori ?

Ca ne sarretera jamais car Car une fois qu'on a fait A B^c faudra aussi faire le complémentaire celui ci puis faire les unions.. non ?

Alors si, ça va s'arrêter. Voyons comment !
Avant, il faut savoir qu'une tribu est aussi stable par intersection au plus dénombrable.

Soient A et B deux parties de E.
Alors dans la tribu engendrée par A et B, il va y avoir les ensembles suivants qui forment une partition de E :









(NB : On reconstruit A et B avec et )

Par conséquent, la tribu est la tribu .

Or, construire une tribu avec une partition, on a vu comment le faire.

Si en plus cette partition n'a qu'un nombre fini d'éléments, alors la tribu engendrée n'a qu'un nombre fini d'éléments (au plus ).

On peut évidemment généraliser en se donnant un nombre fini de parties de E : la tribu engendrée par cette famille n'aura qu'un nombre fini d'éléments. Et donc le processus décrit 20-10-21 à 16:48 s'arrête nécessairement dans ce cas. Ce qui répond à ta question !

Il est bien entendu qu'il est hors de question d'utiliser (sans hypothèses supplémentaires), ce processus par partitionnement si on se donne un nombre infini de parties de E.

Par exemple : sur , on considère la famille des intervalles ouverts, et on souhaite connaître la tribu engendrée par cette famille (appelée tribu borélienne). Bon courage pour trouver la partition adéquate ! Du coup, on utilise d'autres outils, mais on ne sait pas la décrire (on sait qu'elle a le même cardinal que )

Du coup, pour revenir à la question initiale de ce fil,

    Bonjour
      On est donc dans la situation suivante : on a une partition {X , Y , Z} d'un ensemble E  ( ici  E :=   , X = [0 , 1] , Y := ]1 , 2] , Z := ]2 , +[ ) et on demande de déterminer la tribu T   engendrée par {X , Y , Z}  .

T contient donc  S : = { , X , Y , Z ,   X   Y  , X Z  , Y Z , E}
  Si S est une tribu , c'est gagné : T = S .
  Or
   .S  est stable pour Ud ( qui ici se réduit à Uf ) c'est clair .
  ..La stabilité pour la complémentation est facile à prouver   ( ^c = E , X ^c = Y Z , .... )
  ...La stabilité pour d ( qui ici se réduit à  f ) est  tout aussi facile à prouver  .

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   On peut s'amuser à   déterminer la tribu T   engendrée par
    .une partition finie  { X₁ ,....,X_n }  ( n 4)
    ou ..une partition  dénombrable { X_k │ k * }
    ou... une partition  non dénombrable  { X_j │ j J }  où Card(J) > Card()