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Tribu triviale.
Posté par stokastik
Bonjour,
si est une suite de variables aléatoires sur un espace probablisé
, qui converge vers une constante (en probabilité ou presque sûrement), est-ce que la suite de tribus
décroît vers la tribu triviale
?
Bonsoir Stokastik
Je crois que j'ai même un contre-exemple.
En effet, considèrons X la variable aléatoire définie sur [0;1](qu'on munit de la mesure de Lebesgue) et qui vaut tout le temps 1 sauf en 0, où elle vaut 0 et la suite constante égalé à X.
cette suite converge presque sûrement vers X et pour tout n, et donc n'est jamais égale à la tribu triviale.
Cependant, si l'on suppose les variables aléatoires indépendantes, alors la loi du "tout ou rien", dit que la tribu "limite" est constituée d'événements de probabilité 0 ou 1.
Kaiser
Ton contre-exemple ne marche pas ! Je parlais d'une égalité de tribu "essentielle" : la tribu de ton exemple est dégénérée modulo les négligeables
D'ailleurs dans la loi du "tout ou rien", c'est une égalité de tribus modulo les négligeables! Faut que tu comprennes ça!
Par exemple, si est une suite de v.a. indépendantes prenant les valeurs 0 ou 1. Par la loi du tout ou rien, la tribu "germe"
est triviale... modulo les négligeables! Par exemple l'événement
appartient à cette tribu ; il n'est pas vide, mais sa probabilité est nulle.
Désolé si je me suis mal exprimé, mais en utilisant la loi du "tout ou rien", je voulais simplement remarquer que la seule chose que l'on que pouvait dire lorsque l'on supposait les v.a indépendantes, c'est que les événements de la tribu "limite" étaient de probabilité égale à 0 ou 1, mais je ne voulais pas dire que la tribu limite était triviale (tout court).
En ce qui concerne mon contre-exemple, je voulais un cas où l'on pouvait déterminer explicitement la tribu "limite".
Citation :
Ton contre-exemple ne marche pas ! Je parlais d'une égalité de tribu "essentielle" : la tribu de ton exemple est dégénérée modulo les négligeables
Ton contre-exemple ne marche pas ! Je parlais d'une égalité de tribu "essentielle" : la tribu de ton exemple est dégénérée modulo les négligeables
Qu'à cela ne tienne ! On peut toujours prendre la v.a X qui vaut 0 sur
La tribu limite est alors, si je ne me trompe pas,
Kaiser