Bonjour,
je travaille actuellement sur la diagonalisation et la trigonalisation des matrices.
Nous avons un exercice dont l'énoncé nous demande simplement de calculer les valeurs et sous espaces propres de cette matrice C :
Je calcule le polynôme caractéristique et je trouve 3 comme valeur propre et d'ordre de multiplicité 3. A ce stade je peux simplement dire que la matrice est trigonalisable dans R et potentiellement diagonalisable si la multiplicité géométrique de 3 est de 3...
Je calcule le sous-espace vectoriel Ker(C-3Id3) et je trouve Ker(C-3Id3)=Vect( {1,0,0} ). Donc la matrice n'est pas diagonalisable.
Je voulais essayer de trigonaliser la matrice C.
Je sais qu'il existe une matrice P inversible de dimension 3 tel-que :
Avec
C'est à partir de ce moment que je bloque. En cours on a pas trop vu comment déterminer P. Je sais qu'il faut compléter P par des vecteurs indépendants linéairement. Mon premier réflexe a été de compléter avec les vecteur Problème j'arrive à une égalité fausse entre C et la matrice triangulaire.
Pouvez-vous me diriger vers la bonne voie ?
bonjour
il me semble que si tu trouves que 3 est valeur propre avec un ordre de multiplicité 3, ta matrice c'est 3I3
y'a un souci là non ?
ah pardon, j'avais compris que c'était la dimension du noyau !
donc ok
ça veut donc dire qu'elle n'est pas diagonalisable
il te faut cherche une base dans laquelle la matrice est triangulaire...
le premier vecteur est u=(1;0;0)
le deuxième doit être indépendant avec u et vérifier f(v)-3v = au
Pardon j'ai compris mon erreur. J'ai le cerveau en compote après une journée entière d'algèbre.
On trouve bien Ker(C-3I)=Vect{(1,0,0),(0,2,1)}
c'est le noyau de (C-3I)² qui est engendré par ces deux vecteurs ! pas de (C-3I) comme tu l'as écrit.
bon ben f(v) = u + 3v
tu as bien ta colonne (1;3;0) pour la matrice dans la nouvelle base
reste à compléter (u;v) en une base avec un vecteur w tel que f(w) = au + bv + 3w
Alors si je ne suis pas trompé,
je trouve w = (0,2b-5c,b-2c)
Je prends b =1 et c = 1, ce qui me donne w = (0,-3,-1).
Cw = (1,-7,-2) = 1 * u + 1*v + 3*w
On C = PTP⁽-¹⁾ avec T = et P =
J'ai plusieurs questions, je n'ai pas compris quand vous avez parlé de l'ensemble Ker(C-3I)², à quoi correspond cet ensemble par rapport à la matrice C ?
Pour qu'elle raison avons-nous le droit de choisir arbitrairement les valeurs de a,b et c ?
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