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Trigonalisation

Posté par
LeTesla
14-03-21 à 16:39

Bonjour,
je travaille actuellement sur la diagonalisation et la trigonalisation des matrices.
Nous avons un exercice dont l'énoncé nous demande simplement de calculer les valeurs et sous espaces propres de cette matrice  C :
\begin{pmatrix} 3 &-2 &5 \\ 0&1 & 4\\ 0& -1& 5 \end{pmatrix}

Je calcule le polynôme caractéristique et je trouve 3 comme valeur propre et d'ordre de multiplicité 3. A ce stade je peux simplement dire que la matrice est trigonalisable dans R et potentiellement diagonalisable si la multiplicité géométrique de 3 est de 3...
Je calcule le sous-espace vectoriel Ker(C-3Id3) et je trouve Ker(C-3Id3)=Vect( {1,0,0} ). Donc la matrice n'est pas diagonalisable.
Je voulais essayer de trigonaliser la matrice C.
Je sais qu'il existe une matrice P inversible de dimension 3 tel-que :
CP=P\begin{pmatrix} 3 &a &b \\ 0 & 3 &c \\ 0&0 &3 \end{pmatrix}
Avec  P = \begin{pmatrix} 1 & * & *\\ 0& *& *\\ 0& *&* \end{pmatrix}
C'est à partir de ce moment que je bloque. En cours on a pas trop vu comment déterminer P. Je sais qu'il faut compléter P par des vecteurs indépendants linéairement. Mon premier réflexe a été de compléter avec les vecteur \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} Problème j'arrive à une égalité fausse entre C et la matrice triangulaire.
Pouvez-vous me diriger vers la bonne voie ?

Posté par
matheuxmatou
re : Trigonalisation 14-03-21 à 16:43

bonjour

il me semble que si tu trouves que 3 est valeur propre avec un ordre de multiplicité 3, ta matrice c'est 3I3

y'a un souci là non ?

Posté par
matheuxmatou
re : Trigonalisation 14-03-21 à 16:46

ah pardon, j'avais compris que c'était la dimension du noyau !

donc ok

ça veut donc dire qu'elle n'est pas diagonalisable

Posté par
matheuxmatou
re : Trigonalisation 14-03-21 à 16:52

il te faut cherche une base dans laquelle la matrice est triangulaire...

le premier vecteur est u=(1;0;0)

le deuxième doit être indépendant avec u et vérifier f(v)-3v = au

Posté par
LeTesla
re : Trigonalisation 14-03-21 à 16:56

matheuxmatou @ 14-03-2021 à 16:43

bonjour

il me semble que si tu trouves que 3 est valeur propre avec un ordre de multiplicité 3, ta matrice c'est 3I3

y'a un souci là non ?


Je ne comprends pas. Une matrice triangulaire de dimension 3 et dont la diagonale est uniquement composée de 3 aura comme valeur propre 3 de multiplicité algébrique 3. Ce n'est pas nécessairement trois fois la matrice identité.

Je peux détailler mon calcul :
det(C-\lambda I_3) = (3-\lambda )*\begin{vmatrix} 1-\lambda & 4 \\ -1 & 5-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)*((1-\lambda)(5-\lambda)+4) = (3-\lambda)(9-6\lambda + \lambda^2)= (3-\lambda)^3

Posté par
matheuxmatou
re : Trigonalisation 14-03-21 à 16:57

tu remarqueras que cela signifie, entre autre,  que v est dans le noyau de (f-3Id)²

Posté par
LeTesla
re : Trigonalisation 14-03-21 à 16:57

matheuxmatou @ 14-03-2021 à 16:52

il te faut cherche une base dans laquelle la matrice est triangulaire...

le premier vecteur est u=(1;0;0)

le deuxième doit être indépendant avec u et vérifier f(v)-3v = au

Je vais essayer merci !

Posté par
matheuxmatou
re : Trigonalisation 14-03-21 à 16:57

LeTesla : voir 16:46

Posté par
LeTesla
re : Trigonalisation 14-03-21 à 17:17

matheuxmatou @ 14-03-2021 à 16:57

tu remarqueras que cela signifie, entre autre,  que v est dans le noyau de (f-3Id)²


J'ai du faire une erreur en calculant mon sous espace propre... Car je trouve :
v = \begin{pmatrix} 0\\ 2a\\ a \end{pmatrix}
or v ne fait pas parti de Vect{(1,0,0)}. Je vais essayé de calculer de nouveau mon sous espace

Posté par
matheuxmatou
re : Trigonalisation 14-03-21 à 17:24

le noyau de (f-3id)² n'est pas de dimension 1 ...

Posté par
matheuxmatou
re : Trigonalisation 14-03-21 à 17:25

prend v=(0;2;1)

non colinéaire à u

calcule f(v) ...

Posté par
LeTesla
re : Trigonalisation 14-03-21 à 18:03

matheuxmatou @ 14-03-2021 à 17:25

prend v=(0;2;1)

non colinéaire à u

calcule f(v) ...

Je crois que je suis perdu.
Dans un premier temps pour Ker(C-3I_3)=[tex]Ker(C-3I_3) = \{\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \in \mathbf{R}, \left\lbrace\begin{matrix} -2y+5z=0(1)\\ -2y+4z=0(2)\\ -y+2z=0 \end{matrix}\right.\} = \{\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \in \mathbf{R}, \left\lbrace\begin{matrix} y=0\\ z=0 \\ x \in R \end{matrix}\right.\} = Vect{\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}}
[/tex] Si z et y sont différents de zéro alors les lignes (1) et (2) ne pas vraies et rendent le système incompatible.

Ensuite je trouve f(v) = \begin{pmatrix} 1\\ 8\\ 3 \end{pmatrix} mais je comprends en quoi cela m'est utile. A mon avis je suis à coté de la plaque... Désolé

Posté par
LeTesla
re : Trigonalisation 14-03-21 à 18:05

Pardon j'ai compris mon erreur. J'ai le cerveau en compote après une journée entière d'algèbre.
On trouve bien Ker(C-3I)=Vect{(1,0,0),(0,2,1)}

Posté par
matheuxmatou
re : Trigonalisation 14-03-21 à 18:07

non, il s'agit de (C-3I)²

et ton f(v) est faux

Posté par
LeTesla
re : Trigonalisation 14-03-21 à 18:12

matheuxmatou @ 14-03-2021 à 18:07

non, il s'agit de (C-3I)²

et ton f(v) est faux


f(v) = Cv = \begin{pmatrix} 3 & -2&5 \\ 0 & 1 & 4\\ 0 &-1 &5 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0*3+2*-2+5\\ 2+4\\ -2+5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 6\\ 3 \end{pmatrix} Ça devrait être mieux maintenant.
Je ne comprends "Non, ils'agit de (C_3I)³"

Posté par
matheuxmatou
re : Trigonalisation 14-03-21 à 18:22

c'est le noyau de (C-3I)² qui est engendré par ces deux vecteurs ! pas de (C-3I) comme tu l'as écrit.

bon ben f(v) = u + 3v

tu as bien ta colonne (1;3;0) pour la matrice dans la nouvelle base

reste à compléter (u;v) en une base avec un vecteur w tel que f(w) = au + bv + 3w

Posté par
LeTesla
re : Trigonalisation 14-03-21 à 19:03

matheuxmatou @ 14-03-2021 à 18:22

c'est le noyau de (C-3I)² qui est engendré par ces deux vecteurs ! pas de (C-3I) comme tu l'as écrit.

bon ben f(v) = u + 3v

tu as bien ta colonne (1;3;0) pour la matrice dans la nouvelle base

reste à compléter (u;v) en une base avec un vecteur w tel que f(w) = au + bv + 3w

Pourquoi on cherche f(w) = au + bv + 3w et non f(w) = bu + cv + 3w ?

Posté par
LeTesla
re : Trigonalisation 14-03-21 à 19:30

Alors si je ne suis pas trompé,
je trouve w = (0,2b-5c,b-2c)
Je prends b =1 et c = 1, ce qui me donne w = (0,-3,-1).
Cw = (1,-7,-2) = 1 * u + 1*v + 3*w

On C = PTP⁽-¹⁾ avec T = \begin{pmatrix} 3 & 1&1 \\ 0& 3& 1\\ 0&0 &3 \end{pmatrix} et P = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 2& -3\\ 0& 1& -1 \end{pmatrix}
J'ai plusieurs questions, je n'ai pas compris quand vous avez parlé de l'ensemble Ker(C-3I)², à quoi correspond cet ensemble par rapport à la matrice C ?
Pour qu'elle raison avons-nous le droit de choisir arbitrairement les valeurs de a,b et c ?

Posté par Profil amethystere : Trigonalisation 16-03-21 à 06:17

LeTesla @ 14-03-2021 à 19:30


J'ai plusieurs questions, je n'ai pas compris quand vous avez parlé de l'ensemble Ker(C-3I)², à quoi correspond cet ensemble par rapport à la matrice C ?


Bonjour

mais vous avez regardé la dimension de Ker(C-3I) ?

vous voyez que sa dimension est un  

c'est à partir de là avec votre espace propre déjà défini que vous commencez à trigonaliser et profiter de la remarque  de votre interlocuteur Matheuxmatou




Posté par
matheuxmatou
re : Trigonalisation 16-03-21 à 10:51

C-3I est nilpotente ...

Ker(C-3I) est de dimension 1

Ker(C-3I)2 est de dimension 2

Ker(C-3I)3 est de dimension 3



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