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Trigonalisation et polynôme annulateur
Bonjour,
Je voudrais savoir s'il n'y a pas d'erreur dans le raisonnement suivant (car le corrigé est beaucoup plus compliqué...)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.
u un endomorphisme de E.
On suppose que u admet un polynôme annulateur P qui est scindé.
On veut montrer que u est trigonalisable, ce qui est équivalent à (le polynôme caractéristique) scindé.
On sait déjà que Sp(u) est inclu dans les racines de P.
Autrement dit, divise P.
Or P est scindé, donc aussi.
Donc u est trigonalisable.
Ca fonctionne, si tu admets l'équivalence dont tu parles.
Voici une autre preuve de trois lignes :
On suppose sans perte de généralité que K est algébriquement clos.
P a exactement les mêmes racines que μ dans K. Mais μ est scindé, donc il existe m tel que P divise μm.
P est alors scindé comme diviseur de polynôme scindé
Ceci montre que pour tout P polynôme annulateur de u,
μ est scindé
si et seulement si P est scindé
si et seulement si χ est scindé
si et seulement si u est trigonalisable
Bizarre car le corrigé va chercher une récurrence franchement loin :
Le résultat est immédiat si E est de dimension 1 .
Supposons désormais le résultat vrai pour tout espace vectoriel de dimension dim E − 1 et considérons un endomorphisme u annulé par un polynôme scindé P (X) = (X − βk ). La relation (u − β1 IdE ) ◦ · · · ◦ (u − βm IdE ) = 0 implique alors qu'il existe i ∈ [[1, m]] tel que (u − βi IdE ) soit non inversible.
L'endomorphisme non injectif (u − βi IdE ) est alors d'image F strictement contenue dans E .
Choisissons alors un hyperplan H de E contenant F .
Comme F = Im(u − βi IdE ) ⊂ H , l'hyperplan H est stable par (u − βi IdE ) et donc par u .
L'endomorphisme induit u_H vérifie P (u_H ) = 0 ; il est donc annulé
par un polynôme scindé et, par hypothèse de récurrence, trigonalisable.
Il existe donc une base B' de H dans laquelle la matrice de u_H est triangulaire supérieure. Dans toute base B de E , obtenue en complétant B' par un seul vecteur, la matrice de u est triangulaire supérieure ; ce qui conclut la récurrence.
Je ne sais pas ce qu'est
Précisons qu'à ce stade du chapitre, tout est fait (notamment la CNS de trigonalisabilité avec ), à part les polynômes annulateurs qui sont à peine abordés.
μ désigne le polynôme minimal, mais peut-être que ton cours fait les choses dans un autre ordre.
En fait, plus visuellement, si χu est scindé, il admet au moins une racine λ, qui est alors une valeur propre de u. Si on se donne x un vecteur propre (non nul, donc) associé à cette valeur propre lambda, le théorème de la base incomplète permet de créer une base
La matrice de u dans cette base sera de la forme
Par définition du vecteur propre x, B est en fait une matrice nulle.
Maintenant, si tu développes par rapport à la première colonne, il est facile de voir que
R est en fait le polynôme caractérristique de la matrice C, qui représente l'endomorphisme induit dont ta preuve parle.
Comme
En prenant en compte la forme de la matrice Q, on en déduit que Q est trigonalisable aussi. Ce qui achève la partie "hérédité" de cette preuve par récurrence.
Donc ta correction est correcte
Elle fait juste le même genre de choses, sauf qu'elle n'utilise pas des matrices par blocs et polynômes caractéristiques ; mais plutôt des morphismes induits et des polynômes annulateurs.
Ta preuve à toi est plus courte, mais elle se base sur le résultat "chi_u scindé => u trigonalisable" qui je viens de te démontrer en citation
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