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Niveau terminale
Trigonmétrie
Posté par Nonimamie
Bonjour,
Je suis en Terminale S et j'ai un exercice à faire sur la trigonométrie.
Voici l'exercice ainsi que mes réponses :
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 3cos(2x+π/2).
1) Montrer que, pour tout x appartenant à R, on a: -3<f(x)<3.
On a :
-1<cos(x)<1
-1<cos(2x+π/2)<1
-3<3cos(2x+π/2)<3
-3<f(x)<3
2)Etudier la parité de la fonction f.
Si x appartient à Df, alors -x appartient à Df également.
On a :
f(-x)=3cos(2(-x)+π/2)
f(-x)=3cos(-2x+π/2)
f(-x)=3cos(2x+π/2)
f(-x)=f(x)
Je ne suis pas sûre d'avoir rédigée rigoureusement ma réponse. Dois-je modifier quelque chose ?
3) Montrer que f est π-périodique.
f(x+π)= 3cos (2(x+π)+π/2)
f(x+π)= 3cos((2x + 2π + π/2)
f(x+π)= 3cos (2x + π/2)
f(x+π)= f(x)
Ma réponse est-elle correcte ?
4)a) Calculer la dérivée de f'(x).
On a f=3cos(u) avec u(x)=2x+π/2
u est dérivable sur R et u'(x)=2
donc f est dérivable sur R et f'=3 x (-u') x sin(u)
f'(x)=3x(-2) x sin(2x+π/2)
f'(x)=-6 sin(2x+π/2)
b)Résoudre l'équation f'(x)=0 dans R et en déduire les solutions dans l'intervalle [0;π].
Je ne sais pas comment je dois m'y prendre pour résoudre cette équation. Pourriez-vous me guider ?
5)Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [0;π].
On a :
0<2x +π/2<π
Le signe de f' sur cet [0;π/2] est négatif et le signe de f' sur [π/2;π] est positif.
Le tableau de variation serait donc décroissant puis croissant.
Est-ce cela ? Ais-je d'autres choses à expliquer ?
6)Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentative de la fonction f aux points d'abscisses π/4 et 3π/4.
Je sais que les tangentes ont pour équation y=-3 et y=3 mais je ne sais pas comment l'expliquer.
Merci d'avance pour votre aide,
Noé
Bonjour,
2) La rédaction me semble suffisante.
3) La démonstration que f est pi-périodique est correcte
4b) Équation f'(x)=0
f'(x)=0 
sin(2x+
/2)=0
2x+/2=0+k
2x=-/2+k
x=-/4+k/2
Il ne reste plus qu'à donner les solutions qui appartiennent à l'intervalle d'étude.
5) La dérivée s'annule deux fois sur l'intervalle [0; ] d'après la question 4b). Pour déterminer son signe, intervalle par intervalle, il suffit de choisir une valeur de x dans chaque intervalle et de calculer f'(x) pour voir son signe. Le tableau de variation en découle.
6) Les valeurs /4 et 3/4 sont précisément les valeurs pour lesquelles la dérivée s'annule (voir 4b). Lorsque la dérivée est nulle la tangente a pour coefficient directeur 0.
Merci pour vos réponses.
J'ai cependant un doute quant à la question 2 :
Je ne sais pas si ce passage est correcte :
f(-x)=3cos(-2x+π/2)
f(-x)=3cos(2x+π/2)
De plus, je ne comprends pas comment trouver les solutions de la question 4)b). Ce n'est donc pas simplement -π/4+kπ/2 ?
Bonjour,
Au 1), il faut écrire des inégalités larges.
Au 2), f(-x)=f(x) est faux. regarder avec /4 .
Avec ceci
Citation :
les calculs seront plus simples si tu remplaces cos(2x+pi/2) par -sin(2x)
la parité devient évidente.les calculs seront plus simples si tu remplaces cos(2x+pi/2) par -sin(2x)
Pour la 2, on aurait donc :
f(x)=3 x (-sin(2x))
donc f(-x)=3 x (-sin(-2x))
soit f(-x)=3 x(-sin(2x))
donc f(-x)=f(x)
Est-ce davantage correct ?
f(x) = 3.cos(2x+pi/2) (en développant cos(a+b) = cos²a.cos²b-sin²a.sin²b)
= -3.sin(2x)
2) f(-x) = -3.sin(-2x)
...
Je ne comprends pas comment on obtient -sin(2x) avec
cos(2x)cos(pi/2)-sin(2x)sin(pi/2)
Merci et bon dimanche
Ah, d'accord merci !
Pour la question 5, voilà ce que j'ai fait :
D'après la question précédente :
-π/4 < x < π/4
-π/2 < 2x < π/2
0 < 2x+π/2 <π
Donc :
sur [0;π/4], sin (2x+π/2) > 0
donc -6 sin (2x+π/2) < 0
soit f'(x) < 0
sur [π/4;3π/4], sin (2x+π/2) < 0
donc -6 sin (2x+π/2) > 0
soit f'(x) > 0
sur [3π/4;π], sin (2x+π/2) > 0
donc -6 sin (2x+π/2) < 0
soit f'(x) < 0
On en déduit que f est décroissante sur [0;π/4], croissante sur [π/4;3π/4] puis décroissante sur [3π/4;π].
Je sais que mes réponses sont correctes mais je ne suis pas sûre d'avoir rédiger convenablement. Pourriez-vus me corriger si nécessaire ?
Ta rédaction est parfaitement correcte, mais tu aurais pu faire plus simple :
-> tu sais que la dérivée s'annule pour x=/4 et pour x=3/4.
-> pour x=0 on a : f'(x)=-6. Donc la dérivée est négative sur [0; /4]
-> pour x=/2, on a f'(x)=6. Donc la dérivée est positive sur l'intervalle [/4; 3/4].
->enfin, pour x=, f'(x)=-6. La dérivée est donc négative sur l'intervalle [3/4; ].
Merci.
De même, pour la question 4)b) :
Pour tout x appartenant à R,
f'(x) = 0
sin(2x+π/2) = 0
2x+π/2 = 0 + kπ
2x = -π/2 + kπ/2
x= - π/4 + kπ/2 ou x =π/4 + kπ/2
Est-ce normal que j'arrive sur un résultat avec kπ/2 et non 2kπ ? Mon raisonnement est-il correct ?
Pour une équation de type sin A = 0, il n'y a qu'un famille de solutions : A = k
Par contre, si l'équation est de la forme sin A = sin B 
0 alors, il y a 2 familles de solutions : A=B + 2k ou A=-B + 2k
Dans le cas particulier sin(2x+/2)=0, il n'y a qu'une famille de solutions :
2x+/2=k
soit : 2x=-/2+k
soit : x=-/4+k/2
Sur le cercle trigonométrique, cette famille de solutions se présente comme un carré.
J'ai un problème d'extrême urgence :
Sur [3pi/4;pi], je trouve
3pi/2<2x<2pi
2pi<2x+pi/2<5pi/2
sin(2pi)>sin(2x+pi/2)>sin(5pi/2)
Et c'est là que j'ai un problème, j'ai échangé les signes pour le sinus mais conclusion je me retrouve avec :
0>sin(2x+pi/2)>1
Ce n'est pas possible !
S'il-vous-plait, aidez-moi !
Je me suis trompée, le problème est là :
0<x<pi/4
0<2x<pi/2
pi/2<2x+pi/2<pi
sin(pi/2)<sin(2x+pi/2)<sin(pi)
donc 1<sin(2x+pi/2)<0
ce n'est pas possible d'aoir 1<0
merci pour votre aide urgente !!!
Sur l'intervalle [2;5/2], la fonction sinus est croissante. Il ne faut donc pas changer le sens des inégalités...
Merci beaucoup !
Donc je dois bien changer le signe sur l'intervalle [0;pi/4] ???
ce qui me donne 1>sin(2x+pi/2)>0
Et pour [pi/4;3pi/4], j'ai :
pi/2<2x<3pi/2
sin(pi)<sin(2x+pi/2)<sin(2pi) OU sin(pi)>sin(2x+pi/2)>sin(2pi)
Dois-je inverser le signe ? Et je trouve que sin(2x+pi/2) est compris entre zéro et zéro, est-ce correct ?
Si on a : 0
</4
alors 02x/2
donc /22x+/2
Or, sur l'intervalle [/2;], la fonction sinus est décroissante, mais elle est multipliée par -6. Donc les inégalités ne changent pas de sens in fine :
Si : 0</4
Alors /22x+/2
Donc sin(/2)
sin(2x+/2)sin()
Donc -6 sin(/2)-6 sin(2x+/2)-6sin()
donc -6-6 sin(2x+/2)0
Merci beaucoup pour votre réponse.
Un dernier petit souci :
Pour [pi/4;3pi/4], j'ai :
pi/2<2x<3pi/2
sin(pi)<sin(2x+pi/2)<sin(2pi) OU sin(pi)>sin(2x+pi/2)>sin(2pi)
Dois-je inverser le signe ? Et je trouve que sin(2x+pi/2) est compris entre zéro et zéro, est-ce correct ?
La fonction sinus est négative sur l'intervalle [;2]
Donc, si on a 2x+/22
alors sin(2x+/2)0
donc -6sin(2x+/2)0