Bonsoir,

Presque !
Par définition de arc cos, que représente précisément arccos(y) pour y dans [-1,1] ?

Salut

arc cos y est la fonction inverse de cos y, c'est comme je l'ai dis tout à l'heure. qu'est ce qu'il faut comprendre ici?

Quand je disais précisément, c'est parce qu'il y a bien sur quelque chose à dire sur cette fonction arccos.
Dire que c'est la fonction inverse de cos n'est pas suffisant : la fonction cos:R->[-1,1] n'est pas bijective.

si cos n'est pas bijective, cela veut dire que arc cos ne prend pas ses valeurs dans [-1,1]mais plutot sur R.
arcos (cos y)= y dans le cas où cos y est dans [-1,1]
et dans le cas où cos y n'est pas dans [-1,1] que peut-on dire?

Non non !
Déjà, pour tout réel y, cos(y) est dans [-1,1].
Ensuite, j'essaie de te montrer que tu n'as pas compris comment est défini "arccos".

La fonction cosinus de R dans [-1,1] n'est pas bijective comme tu dois le savoir mais sa restriction à [0,Pi] l'est ( sur ce segment cos est strictement croissante donc bijective sur son image).
La fonction arccos est ainsi et par définition, l'application inverse de cette restriction.
Donc tu as d'un coté : cos: [0,Pi]->[-1,1] et arccos:[-1,1]->[0,Pi].
Si tu préfères, arccos(y) est l'unique réel x dans [0,Pi] tel que cos(x)=y.

Exemple, que vaut arccos(cos(Pi/3)) ? arccos(cos(2Pi/3)) ?

Et que vaut arccos(cos(5Pi/3)) ?

Salut,

je comprend que la fonction inverse Arc cos est définie de [-1,1] vers [0, \pi] parceque, cos est bijective de [0,\pi] à [-1,1]

maintenant, quand on cherche Arc cos (cos x), on est entrain de chercher l'unique z tel que cos x= cos z.
Par exemple pour Arc cos (cos ((2 \pi)/ 3), onn cherche l'unique x de [-1,1] tel que cos ((2 \pi)/3)= z

Pardon,

"qu'en est-il pour arccos(5Pi/3) ?"

Attend, je crois que j'ai compris (enfin, je l'espère)

pour définir il faut que (sinon, n'est pas bijective).

On a tel que, quand on cherche on est entrain de chercher l'unique x qui vérifie

pour , il n'existe pas, parce que, n'est pas dans

A chaque fois que tu envoies un message tu te contredis :
Encore une fois, Arccos est l'application réciproque de cosinus restreinte à [0,Pi] sur son image [-1,1].
Donc par définition, Arccos est une application de [-1,1] dans [0,Pi] et elle vérifie :
¤ pour tout x dans [0,Pi], arccos(cos(x))=x
¤ pour tout x dans [-1,1], cos(Arccos(x))=x.

En particulier, arccos(Pi/3) n'est pas défini mais on peut quand meme calculer des valeurs comme Arccos(cos(5Pi/3)).
Par définition, ce sera l'unique élément x de [0,Pi] tel que cos(5Pi/3)=cos(x).
Dessine le cercle trigonométrique, tu vas voir qu'on peut trouver ce x très simplement.

pourquoi arcos(\pi/3) n'est pas définie? Puisque (\pi/3) est dans [-1,1]

pour (5 \pi/3) on peut l'écrire sous la forme de [\pi+ (2 \pi/3)]

Non certainement pas : Pi/3>1.

non, je n'ai pas réussi, j'ai l'idée: il faut résoudre l'équation cos(x)= cos(\pi+ \frac{2 \pi}{3}) mais je ne trouve pas la méthode de résolution de ce genre d'équations (je n'ai malheureusement pas une bonne base en trigo, ni les bonnes astuces).

Regarde bien ton cercle trigonométrique, place y les valeurs connues comme 0, Pi/6, Pi/4,Pi/3 etc...
Regarde ou est le cosinus de 5Pi/3 et essaie de trouver un autre nombre qui a la même cosinus.

c'est \pi/3 biensur!

Ah ! oui !
Tu vois donc qu'on peut utiliser les propriétés de la fonction cosinus pour résoudre ce genre de problème.
Revenons à nos moutons, tu voulais calculer . Il faut donc trouver l'unique nombre x dans [0,Pi] tel que cos(x)=cos(59Pi/5).
En procédant de la même façon, essaie de trouver ce x.

Chercher ArcCos(cos (59/5)\pi) revient à chercher l'unique y dans [0,\pi] tel que cos((59/5)\pi)= cos y
on a (59/5)\pi= \pi+ \pi/5 alors cos((59/5)\pi)= cos(4 \pi/4)

donc ArcCos(cos (59/5)\pi)= cos(4 \pi/4)

sinon, pour ArcSin et ArcTan, eux aussi ils sont définis de [-1,1] à [0,\pi]

?
C'est quoi ca ?

On a

Ce serait bien que tu précises un peu tes égalités. Tel quel, ça ne veut rien dire !

Je comprends vraiment pas ...
alors que !

Au mieux, tu peux vouloir travailler modulo 2Pi mais même la c'est faux. Tu peux t'expliquer un peu ?

Svp, Comment résoudre arcos(cos(59pi/3)?

59 = 57 + 2 = 60 - 1 ...

Je comprend pas la reponse......Voulez vous me dire de décomposer pour pouvoir résoudre?

oui, oui....

Desole 3 au denominateur.

Ok, je ferai ceci:
           Cos (59pi/3)  = (57pi+ 2pi/3)
J'utilise :cos( pi+alpha)= -cos alpha
Donc: cos(59pi/3)= - cos(2pi/3)
                                        =1/2
Je trouve: arcos(cos(59pi/3))= pi/3.

@Moustaphasan

C'est bon, manque un peu de rigueur Ssi Hasan.





Donc:



D'où:



Bonne fin de Ramadan, Aïd Moubarak Said.

Ok, merci!!
  J'ai constaté dans la correction mon manque de rigueur. J'en tiendrai compte.
Bye, bye...See you next time.

59 = 60 - 1 = 30 * 2 - 1

donc cos (59pi/3) = cos(10 * 2pi - pi/3) = cos(-pi/3) = cos (pi/3)

...