Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. AutreForum lycée [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

trigonometrie

Posté par
Bahia2112 17-08-13 à 15:55

Bonjour,
Je suis bloquée sur cet exercice pouvez-vous m'aider ?

Etant donné l'équation :
cos(a)cos(x)-sin(a)cos(b)sin(x)=cos(b)

on demande calculer tan(x/2)
on me dit de remplacer sin(x) et cos(x) en fonction de t=tan(x/2) et que je dois obtenir une équation de second degré.
Voici ce que j'ai fais :
cos(a)((1-t²)/(1+t²))-sin(a)cos(b)((2t)/(1+t²))= cos(b)
cos(a)/cos(b)((1-t²)/(1+t²))-sin(a)((2t)/(1+t²))=0

Et la je ne sais pas continuer...
Merci pour votre aide

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : trigonometrie 17-08-13 à 16:08

Bonjour,

Multiplie chaque membre par 1+t² : n'obtiens-tu pas une équation du second degré en t ?

Nicolas

Posté par
Bahia2112re : trigonometrie 17-08-13 à 16:22

j'ai avancé avec votre indication et j'obtiens :

t²(cos(a)+cos(b))+2tsin(a)cos(b)-cos(a)+cos(b)
je calcule ensuite le discriminant :
delta=4sin²(a)cos²(b)-4(cos²(b)-cos²(a))
je ne vois pas comment simplifier cette expression

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : trigonometrie 17-08-13 à 16:24

Même en exploitant le fait que sin²a = 1 - cos²a ?

Posté par
Bahia2112re : trigonometrie 17-08-13 à 16:29

je trouve delta= -4cos²(a)(1+cos²(b))
est ce que c'est exact ?

Posté par
Bahia2112re : trigonometrie 17-08-13 à 16:36

ou plutôt delta=4cos²b

Posté par
Bahia2112re : trigonometrie 17-08-13 à 17:11

Après avoir repris mes calculs je trouve :
delta=4cos²(a)sin²(b)

Et pour les racines :

X1= (sin(b-a))/(cos(a)+cos(b))
X2= (-sin(b-a))/(cos(a)+cos(b))

Est ce que quelqu'un peu me dire si c'est exact ?
la question est de calculer tan(x/2), est ce que je ne devrai pas avoir qu'une seule réponse ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : trigonometrie 17-08-13 à 19:55

\cos(a)\cos(x) - \sin(a)\cos(b)\sin(x) = \cos(b)

Si x = \pi+2k\pi, l'équation devient -\cos(a)=\cos(b). Tu dois étudier ce cas.
Supposons maintenant que x\neq \pi+2k\pi.
Alors \frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi et on peut considérer \tan\frac{x}{2}

Posons donc t=\tan\frac{x}{2}

L'équation devient (1-t^2)\cos(a) - 2t\sin(a)\cos(b) = (1+t^2)\cos(b)

(\cos(a)+\cos(b))t^2 + 2t\sin(a)\cos(b) + (\cos(b) - \cos(a)) = 0

Si \cos(a)+\cos(b) = 0, on est face à une équation du premier degré : tu dois étudier ce cas.
Supposons maintenant que \cos(a)+\cos(b) \neq 0
L'équation est une équation du second degré donc le discriminant est 4\cos^2(a)\sin^2b

On trouve donc deux solutions : t = \frac{ -\sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b) }{ \cos(a)+\cos(b) }

t_1 = \frac{ \sin(b-a) }{ \cos(a)+\cos(b) } et t_1 = \frac{ -\sin(a+b) }{ \cos(a)+\cos(b) }

Je ne trouve donc pas comme toi.

Nicolas

Posté par
Bahia2112re : trigonometrie 18-08-13 à 14:29

Merci pour ton aide mais je ne vois pas comment tu trouves -sin(a+b) dans la deuxième solution. Je trouve toujours -sin(a-b)/(cos(a)+cos(b)) = sin(b-a)/(cos(a)+cos(b))

Posté par
mswinasserre : trigonometrie 18-08-13 à 14:42

Bonjour Bahia,

-\sin{a+b}=-sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b).
Nous pouvons devenir des camarades si vous voulez.
Envoyez moi votre E-mail s'il vous plait

Posté par
mswinasserre : trigonometrie 18-08-13 à 14:44

Je veux dire -\sin{(a-b)}

Posté par
mswinasserre : trigonometrie 18-08-13 à 14:45

je m'excuse + pas -

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : trigonometrie 18-08-13 à 16:08

Bahia2112,

Sauf erreur, la "seconde" solution est t_2 = \frac{ -\sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) }{ \cos(a)+\cos(b) }

Tu dis que c'est égal à \frac{ -\sin(a-b) }{ \cos(a)+\cos(b) }

Cela revient à dire que -\sin(a-b) = -\sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)
C'est-à-dire : \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)
Or ceci me semble... faux.

Nicolas

Posté par
Bahia2112re : trigonometrie 18-08-13 à 16:15

j'ai compris merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : trigonometrie 18-08-13 à 16:25

Je t'en prie.

Pour vérifier nos résultats, prenons un exemple : a=0 et b=\frac{\pi}{2}
L'équation devient \cos x=0 donc x=\pm\frac{\pi}{2} + 2k\pi
Donc \tan\frac{x}{2}=\tan\left( \pm\frac{\pi}{4} + k\pi \right)=\pm 1

Or nous trouvons les solutions t_1 = \frac{ \sin(b-a) }{ \cos(a)+\cos(b) }=1 et t_2 = \frac{ -\sin(a+b) }{ \cos(a)+\cos(b) } =-1

Cela semble coller.

Posté par
Bahia2112re : trigonometrie 18-08-13 à 16:31

Ca me va !
J'ai posté une question dans le forum "supérieur" sur un post existant est-ce que tu peux y jeter un oeil ?
Et encore merci


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !