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trigonométrie
etudiantilois
Bonsoir,
Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant, sur la trigonométrie :
Sur un plan (figure 1), on pose une sphère de centre A et de rayon R et on dispose autour de cette sphère, huit sphères identiques de rayon r (une ayant pour centre B) tangentes entre elles et tangentes à la grande sphère. On cherche à déterminer le rapport : r/R.
a. Démontrer que : r=PB*sin(pi/8).
b. Démontrer que : PB²=4rR.
c. En déduire la valeur du rapport cherché en fonction de sin(pi/8), et en donner une valeur approchée à 10^-2 près.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Bonjour,
Pour a. utiliser une figure dans le plan des centres des petites sphères.
Deux centres B et B' de sphères tangentes en T donnent des triangles PBT et PB'T rectangles en T avec un angle en P de 
/8 .
Remarques :
Même si on n'arrive pas à démontrer les questions a. et b. , la question c. peut se traiter en admettant les résultats.
La figure 1 est très jolie !
OK, merci, j'ai compris la question b.
En revanche, je ne trouve pas de réponse pour la question a et je n'arrive pas à faire une figure dans le plan des centres des petites sphères.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
Et pourquoi dites-vous que "La figure 1 est très jolie !" ?
Je dis qu'elle est très jolie simplement parce que je la trouve jolie et que cela donne envie de regarder l'exercice...
Pour t'aider à "voir" la figure du a., tu peux imaginer que tu es au dessus des sphères ; qu'elles sont transparentes et que tu vois les centres.
Il y a 8 centres B1 , B2 , ... , B8 et 8 points de contact T1 milieu de [B1B2] , T2 milieu de [B2B3] , ... , T8 milieu de [B8B1] .
Merci, mais je n'arrive toujours pas à voir de quelle figure il s'agit...
Pourriez-vous me donner la figure pour que je puisse vous proposer une réponse à la question a svp ?
Merci d'avance.
C'est peut-être parce que j'utilise la lettre T pour les points de contact des petites sphères, alors que la lettre T est déjà utilisée ailleurs.
Je n'ai pas de compas ni de matériel pour faire des figures géométriques et les logiciels adaptés ne sont pas mon fort...
Je vais essayer de faire une figure avec les moyens du bord 
P est le point P de la figure 2 et B1 est le point B de la figure 2.
Les points T1 , T2 , ... , T8 sont les points de contact des petites sphères entre elles.
le point T de la figure 2 n'est pas dans cette figure car il n'est pas dans le même plan que les centres des petites sphères.
OK, merci beaucoup pour la figure intéressante !
Je réfléchis pour la question a et vous propose bientôt une réponse.
Et si on changeait de place le point P (par exemple si il était confondu avec le point A), ça changerait quoi à la figure que vous m'avez donnée ?
Si les sphères sont posées sur un plan horizontal, qui contient les points H et K, le plan de ma figure est horizontal et passe par les points P et B.
Le plan horizontal qui contient A passe au dessus des petites sphères
Les points A, P et H sont sur une même droite verticale.
Le point T de la figure 2 est au dessus du plan de ma figure.
J'ai remarqué que l'angle B1PB2 faisait 360/8, soit 180/4, soit pi/4, mais ne sait pas comment démontrer cela...
On peut aussi remarquer B1PT1 fait pi/8, mais je ne sais pas non plus comment le démontrer...
Merci pour votre aide.
Dans les8 triangles PB1 B2 , PB2 B3 , ... , PB8 B1 , les angles de sommet P ont la même mesure ; on divise donc 2 par 8.
:?Merci beaucoup.
Et comment démontrer que le triangle APB est rectangle pour utiliser le théorème de Pythagore à la question b ?
non P est le projeté de B sur (AH)
le point de tangence des deux cercles est aligné avec les centres des cercles
Merci.
Et je voulais savoir comment calculer la somme Sn dans mon sujet sur les suites dans un tableur, savez-vous comment on le fait ?
J'ai posé la question dans le sujet correspondant.
Et on peut aussi dire que H est le projeté orthogonal de P sur le plan ? Et que K est le projeté orthogonal de B sur le plan ?
ou si vous préférez comme les deux boules sont sur la table on regarde le rayon du petit par rapport au grand donc on forme bien un rectangle
quel sujet ?
Merci beaucoup.
Je récapitule :
1) Peut-on dire que P est le projeté orthogonal de B sur AH, pour démontrer que APB est un triangle rectangle ?
2) Et que H est le projeté orthogonal de P sur le plan ?
3) Et que K est le projeté orthogonal de B sur le plan ?
C'est vrai tout ça ?
PS : C'est le sujet "suites" avec la quantité conjuguée...
Et dois-je démontrer ces 3 informations ?
Pour rappel, les informations suivantes :
1) Peut-on dire que P est le projeté orthogonal de B sur AH, pour démontrer que APB est un triangle rectangle ?
2) Et que H est le projeté orthogonal de P sur le plan ?
3) Et que K est le projeté orthogonal de B sur le plan ?
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Pour montrer que le triangle PB1B2 est isocèle, il faut juste dire que PB1=PB2 ? A quoi sont égales les longueurs PB1 et PB2 ?
Oui, mais c'est ce qu'il faut démontrer ça...
Et faut-il donc démontrer les 2 propositions parlant de projetés orthogonaux ?
il n'y a rien à démontrer
regardez le schéma que Sylvieg vous a fait et expliqué au dessus en comparant avec la figure 2
B est le centre d'une petite sphère P est le point qui se trouve à la distance r du plan où reposent les sphères
il est donc bien entendu que la distance PB est toujours la même
ce qui a permis de montrer que l'angle B_2PB_1 avait une mesure de en considérant la droite (PT_1) (bissectrice) l'angle B_1PT_1 a pour mesure
ensuite relation trigonométrique dans le triangle rectangle et on montre bien l'égalité demandée
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