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trigonométrie

Posté par Profil etudiantilois 17-04-16 à 21:59

Bonsoir,

Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant, sur la trigonométrie :

Sur un plan (figure 1), on pose une sphère de centre A et de rayon R et on dispose autour de cette sphère, huit sphères identiques de rayon r (une ayant pour centre B) tangentes entre elles et tangentes à la grande sphère. On cherche à déterminer le rapport : r/R.

a. Démontrer que : r=PB*sin(pi/8).
b. Démontrer que : PB²=4rR.
c. En déduire la valeur du rapport cherché en fonction de sin(pi/8), et en donner une valeur approchée à 10^-2 près.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

trigonométrie

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 17-04-16 à 22:41

up...

Posté par
kenavo27
re : trigonométrie 17-04-16 à 23:12


PB2=(R+r)2-(R-r)2

= R2+2Rr+r2-R2+2Rr-r2=4Rr

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trigonométrie 18-04-16 à 08:00

Bonjour,
Pour a. utiliser une figure dans le plan des centres des petites sphères.
Deux centres B et B' de sphères tangentes en T donnent des triangles PBT et PB'T rectangles en T avec un angle en P de /8 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trigonométrie 18-04-16 à 08:09

Remarques :
Même si on n'arrive pas à démontrer les questions a. et b. , la question c. peut se traiter en admettant les résultats.
La figure 1 est très jolie !

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 18-04-16 à 12:27

OK, merci, j'ai compris la question b.

En revanche, je ne trouve pas de réponse  pour la question a et je n'arrive pas à faire une figure dans le plan des centres des petites sphères.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

Et pourquoi dites-vous que "La figure 1 est très jolie !" ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trigonométrie 18-04-16 à 13:23

Je dis qu'elle est très jolie simplement parce que je la trouve jolie et que cela donne envie de regarder l'exercice...
Pour t'aider à "voir" la figure du a., tu peux imaginer que tu es au dessus des sphères ; qu'elles sont transparentes et que tu vois les centres.
Il y a 8 centres B1 , B2 , ... , B8 et 8 points de contact T1 milieu de [B1B2] , T2 milieu de [B2B3] , ... , T8 milieu de [B8B1] .

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 18-04-16 à 16:26

Merci, mais je n'arrive toujours pas à voir de quelle figure il s'agit...

Pourriez-vous me donner la figure pour que je puisse vous proposer une réponse à la question a svp ?

Merci d'avance.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trigonométrie 18-04-16 à 17:38

C'est peut-être parce que j'utilise la lettre T pour les points de contact des petites sphères, alors que la lettre T est déjà utilisée ailleurs.
Je n'ai pas de compas ni de matériel pour faire des figures géométriques et les logiciels adaptés ne sont pas mon fort...
Je vais essayer de faire une figure avec les moyens du bord

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trigonométrie 18-04-16 à 18:12

P est le point P de la figure 2 et B1 est le point B de la figure 2.
Les points T1 , T2 , ... , T8 sont les points de contact des petites sphères entre elles.
le point T de la figure 2 n'est pas dans cette figure car il n'est pas dans le même plan que les centres des petites sphères.

trigonométrie

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 18-04-16 à 18:29

OK, merci beaucoup pour la figure intéressante !

Je réfléchis pour la question a et vous propose bientôt une réponse.

Et si on changeait de place le point P (par exemple si il était confondu avec le point A), ça changerait quoi à la figure que vous m'avez donnée ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trigonométrie 18-04-16 à 18:41

Si les sphères sont posées sur un plan horizontal, qui contient les points H et K, le plan de ma figure est horizontal et passe par les points P et B.
Le plan horizontal qui contient A passe au dessus des petites sphères
Les points A, P et H sont sur une même droite verticale.
Le point T de la figure 2 est au dessus du plan de ma figure.

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 19-04-16 à 16:34

J'ai remarqué que l'angle B1PB2 faisait 360/8, soit 180/4, soit pi/4, mais ne sait pas comment démontrer cela...

On peut aussi remarquer B1PT1 fait pi/8, mais je ne sais pas non plus comment le démontrer...

Merci pour votre aide.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trigonométrie 19-04-16 à 18:56

Dans les8 triangles PB1 B2 , PB2 B3 , ... , PB8 B1 , les angles de sommet P ont la même mesure ; on divise donc 2 par 8.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trigonométrie 19-04-16 à 18:58

Ensuite tous ces triangles sont isocèles en P.

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 14:23

Je ne trouve toujours pas la réponse à la question a... Comment faire ?

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 14:51

:?:?:?:?

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 15:09

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 15:16

J'ai vraiment besoin d'aide... Je cherche depuis 3 semaines...

Posté par
hekla
re : trigonométrie 11-05-16 à 15:41

Dans le triangle rectangle  PB_1T_1 utilisez la définition du sinus  

vous savez que (PT_1) est une bissectrice  de B_1PB_2

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 18:44

Merci beaucoup.

Et comment démontrer que le triangle APB est rectangle pour utiliser le théorème de Pythagore à la question b ?

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 18:49

Et faut-il démontrer que les points A, T, et B sont alignés ? Si oui, comment ?

Posté par
hekla
re : trigonométrie 11-05-16 à 18:59

  non   P est le projeté de  B sur (AH)
le point de tangence des deux cercles  est aligné avec les centres des cercles  

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 19:05

Merci.

Et je voulais savoir comment calculer la somme Sn dans mon sujet sur les suites dans un tableur, savez-vous comment on le fait ?

J'ai posé la question dans le sujet correspondant.

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 19:06

Et pourquoi c'est le projeté ?

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 19:07

Donc comme c'est le projeté le triangle est rectangle ?

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 19:12

Et on peut aussi dire que H est le projeté orthogonal de P sur le plan ? Et que K est le projeté orthogonal de B sur le plan ?

Posté par
hekla
re : trigonométrie 11-05-16 à 19:14

ou si vous préférez comme les deux boules sont sur la table   on regarde le rayon du petit par rapport au grand  donc on forme bien un rectangle

quel sujet ?

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 19:18

Merci beaucoup.

Je récapitule :

1) Peut-on dire que P est le projeté orthogonal de B sur AH, pour démontrer que APB est un triangle rectangle ?

2) Et que H est le projeté orthogonal de P sur le plan ?

3) Et que K est le projeté orthogonal de B sur le plan ?

C'est vrai tout ça ?

PS : C'est le sujet "suites" avec la quantité conjuguée...

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 19:38

up...

Posté par
hekla
re : trigonométrie 11-05-16 à 20:05

c'est ce que j'ai dit, il me semble

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 22:18

Et dois-je démontrer ces 3 informations ?

Pour rappel, les informations suivantes :

1) Peut-on dire que P est le projeté orthogonal de B sur AH, pour démontrer que APB est un triangle rectangle ?

2) Et que H est le projeté orthogonal de P sur le plan ?

3) Et que K est le projeté orthogonal de B sur le plan ?

------------


Pour montrer que le triangle PB1B2 est isocèle, il faut juste dire que PB1=PB2 ? A   quoi sont égales les longueurs PB1 et PB2 ?

Posté par
hekla
re : trigonométrie 11-05-16 à 22:41

\dfrac{r}{PB_1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 22:43

Oui, mais c'est ce qu'il faut démontrer ça...

Et faut-il donc démontrer les 2 propositions parlant de projetés orthogonaux ?

Posté par Profil etudiantiloisre : trigonométrie 11-05-16 à 23:02

up...

Posté par
hekla
re : trigonométrie 11-05-16 à 23:03

il n'y a rien à démontrer

regardez le schéma que Sylvieg vous a fait  et expliqué au dessus en comparant avec la figure 2
B est le centre d'une petite sphère  P est le point qui se trouve à la distance r du plan où reposent les sphères
il est donc bien entendu que la distance  PB est toujours la même  
ce qui a permis de montrer que l'angle  B_2PB_1  avait une mesure de  \dfrac{\pi}{4} en considérant la droite (PT_1) (bissectrice) l'angle B_1PT_1  a pour mesure \dfrac{\pi}{8} ensuite relation trigonométrique dans le triangle rectangle  et on montre bien l'égalité demandée



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