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trigonométrie

Posté par
donato
28-02-18 à 07:30

bonjour, j'ai une démonstration que je cherche depuis quelques jours et ça me dérange vraiment.  j'ai essayé de le faire par récurrence, mais je n'arrive pas à démontrer à l'ordre n+1. aidez-moi s'il vous plait. on demande de démontrer que:

cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}  et  sin(\frac{\pi}{2^{n+1}})=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}

Posté par
flight
re : trigonométrie 28-02-18 à 08:27

salut

pas trop d'idée mais en transformant la partie avec des racines en une suite de la forme

Un+1² = 2 + Un

Posté par
matheuxmatou
re : trigonométrie 28-02-18 à 09:33

Bonjour,

1 ) déjà je pense que c'est pour n 1

2) ensuite je pense qu'il faut préciser que dans le membre de droite il y a n nombres "2" écrits.

3) puis je dis que si la première est montrée, la seconde est automatique avec sin² + cos² = 1 et le fait qu'on est dans le premier quadrant.

4) enfin que la récurrence marche très bien puisque elle est vraie pour n=1 et qu'on passe du rang n au rang (n+1) avec la relation :

  \cos^2(u)=\dfrac{1+cos(2u)}{2}

Posté par
donato
re : trigonométrie 28-02-18 à 09:39

c'est génial, merci beaucoup, ça marche. ça donne  cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})=\frac{1}{2}U_{n}
avec U_{n+1}=\sqrt{2+U_{n}}  et U_{0}=0
et la démonstration par récurrence donne proprement.
merci vraiment

Posté par
donato
re : trigonométrie 28-02-18 à 09:51

merci vraiment.
ça donne encore quand on écrit
cos^{2}(\frac{\pi}{2^{n+2}})=\frac{cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})+1}{2}
et ça permet de démontrer à l'ordre n+1

Posté par
matheuxmatou
re : trigonométrie 28-02-18 à 10:49

ben voilà... attention en prenant la racine de bien préciser que le cosinus est positif (angles du 1er quadrant)



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