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Trigonométrie

Posté par
Hitsuna 20-03-18 à 15:58

Bonjour, je reviens vers vous à nouveau pour un sujet de trigonométrie. Je pense être parvenu à trouver la solutions, mais ayant pensé à 2 méthodes offrant des solutions différentes je me demandais où pouvait se trouver mon erreur.

Il s'agit de résoudre dans [-;] l'équation : \sqrt{3}sinx = cosx

1ère méthode :

\sqrt{3}sinx = cosx
\Leftrightarrow 3sin^2x = cos^2x
\Leftrightarrow sin^2x = \frac{1}{3}(1-sin^2x)
\Leftrightarrow sin^2x = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}sin^2x
\Leftrightarrow \frac{4}{3}sin^2x = \frac{1}{3}
\Leftrightarrow sin^2x = \frac{1}{4}
\Leftrightarrow sinx = -\frac{1}{2} ou sinx = \frac{1}{2}
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} ou x=\pi - \frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6} ou x=-\frac{\pi}{6} ou x=-\frac{5\pi}{6}


2ème méthode :


\sqrt{3}sinx = cosx \\ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}sinx = \frac{1}{2}cosx
\Leftrightarrow sin(\frac{\pi}{3}).sinx = cos(\frac{\pi}{3}).cosx
\Leftrightarrow cos(\frac{\pi}{3}).cosx - sin(\frac{\pi}{3}).sinx = 0
\Leftrightarrow cos(\frac{\pi}{3} + x)=0
\Leftrightarrow \frac{\pi}{3} + x = -\frac{\pi}{2} ou \frac{\pi}{3} + x = \frac{\pi}{2}
\Leftrightarrow x=-\frac{5\pi}{6} ou x = \frac{\pi}{6}

Il me manque alors 2 solutions

Posté par
Camélia Correcteurre : Trigonométrie 20-03-18 à 16:06

Bonjour

As-tu vérifié que tes solutions de la première méthode sont vraiment des solutions?
Ton erreur vient de la première ligne a=b n'est pas équivalent à a^2=b^2.

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 20-03-18 à 16:12

En effet, deux des valeurs trouvées ne sont pas solutions, après saisie dans la calculatrices. Par contre je ne vois pas pourquoi a=b n'est pas équivalent à a²=b²

Posté par
Camélia Correcteurre : Trigonométrie 20-03-18 à 16:15

Par exemple parce que (-1)^2=1^2.

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 20-03-18 à 16:15

Ah, je vois... C'est une implication seulement.

Posté par
Camélia Correcteurre : Trigonométrie 20-03-18 à 16:18

Exactement. Tu as trouvé deux solutions de trop qui sont solutions de \sqrt 3\sin(x)=-\cos(x).
C'est une erreur classique. Tu devrais toujours vérifier les solutions trouvées.

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 20-03-18 à 16:20

Mais du coup, qu'aurais-je dû ajouter/faire dans ma résolution pour ne pas tomber sur ces deu fausses solutions ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Trigonométrie 21-03-18 à 15:10

Rien de plus! Ou tu fais directement la deuxième méthode, où tu fais la première en gardant à l'esprit l'élévation au carré qui peut introduire des fausses solutions, et à la fin tu les vérifies!

Posté par
matheuxmatoure : Trigonométrie 21-03-18 à 15:16

bonjour... je m'immisce...

vu que /2 et -/2 ne sont pas solution, ne serait-il pas plus simple et moins piègeux de dire que l'équation équivaut à

\tan(x)=\dfrac{1}{\sqrt{3}} ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Trigonométrie 21-03-18 à 15:20

Sois le bien venu... Si, bien sûr, c'est ça le plus simple. Mais en fait, le vrai problème de Hitsana était de comprendre pourquoi ses deux méthodes ne donnaient pas la même chose! D'ailleurs il pensait plutôt qu'il ratait des solutions dans le deuxième cas et n'avait pas envisagé la possibilité de fausses solutions.

Posté par
matheuxmatoure : Trigonométrie 21-03-18 à 15:23

oui, tu as raison... d'ailleurs elles sont pas mal ses méthodes, même si l'une est un peu "piégée"... et au moins elle propose quelque chose... c'était juste une troisième méthode pour elle ...

mm

Posté par
Camélia Correcteurre : Trigonométrie 21-03-18 à 15:24

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 22-03-18 à 09:38

En effet, mon souci était bien de comprendre pourquoi les résultats trouvés différaient ^^.

Par ailleurs, n'ayant pas étudié la fonction tangente et ne connaissance pas les valeurs remarquables, je me serais retrouvé embêté en procédant ainsi :3

Posté par
alb12re : Trigonométrie 22-03-18 à 09:58

salut,
si tu veux raisonner par equivalence, c'est possible:

\\ \sqrt{3}\sin x = \cos x\iff3(\sin x)^2 =( \cos x)^2$ et $\sin x \times\cos x\geqslant0 \\

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 22-03-18 à 11:05

Rajouter une condition... Je vois.

D'ailleurs, dans le même genre, je dois résoudre l'équation sinx = 2cosx
dans [0 ; 2] mais je ne parviens pas à m'aider des valeurs remarquables... J'ai pensé procéder un peu comme précédemment, de la sorte :

sinx = 2cosx
\Rightarrow sin^2x=4cos^2x \\ \Rightarrow sin^2x=4(1-sin^2x)
\Rightarrow sin^2x=4-4sin^2x
\Rightarrow sin^2x=\frac{4}{5}
\Rightarrow sinx=\frac{2}{\sqrt{5}}

De la même façon je trouve également cosx=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Toutefois, ces résultats, l'un comme l'autre me laisse dans l'embarras tels quels... Si vous avez une astuce ^^'

Au passage, reprenant l'enseignement de maths niveau lycée, il est probable, comme vous l'avez sans doute déjà constaté, que je sollicite votre aide de temps en temps... J'essaie de faire au mieux.

Posté par
Priamre : Trigonométrie 22-03-18 à 11:20

Tu pourrais remarquer que les solutions de l'équations  sin²x = 4cos²x  sont celles de l'équation  sin x = 2cos x  plus  celles de l'équation   sin x = - 2cos x .

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 22-03-18 à 11:38

Certes, mais je ne vois toujours pas comment procéder. J'aboutirai au final au valeurs que j'ai pu trouver pour sinx et cosx...

Posté par
Priamre : Trigonométrie 22-03-18 à 12:25

Si tu ajoutes à l'élévation au carré la condition indiquée par alb12 à 9h58, il en résulte que sinx et cosx doivent être de même signe. x  doit donc se trouver dans le premier ou le troisième quadrant, de sorte que toutes les solutions hors ces deux quadrants sont à rejeter.

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 22-03-18 à 12:35

Oui, cela je l'entend, mais son soucis est de trouver les valeurs de x, qu'elles soient solutions ou non, pour ensuite pouvoir rejeter celles qui ne le sont pas...

Posté par
alb12re : Trigonométrie 22-03-18 à 14:12

soit alpha tel que cos(alpha)=1/sqrt(5) et sin(alpha)=2/sqrt(5)

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 22-03-18 à 14:36

Mais ces valeurs ne sont rattachées à aucunes mesures d'angles remarquables dans mon cours

Posté par
alb12re : Trigonométrie 22-03-18 à 15:43

les solutions s'expriment en fonction de alpha

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 22-03-18 à 15:48

Ca m'avance peu de savoir que est une solution

Posté par
alb12re : Trigonométrie 22-03-18 à 15:54

on ecrit les 2 solutions en fonction de alpha, l'une est alpha, l'autre est ...

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 22-03-18 à 15:59

- ou - ?

Posté par
alb12re : Trigonométrie 22-03-18 à 16:07

rate le sin et le cos ont le meme signe !

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 22-03-18 à 16:11

+ ?

Je suis perdu... Comme le cosinus peut-il valoir 1/V5 si l'on se place dans ce quart de cercle ?

Posté par
Razesre : Trigonométrie 22-03-18 à 16:16

Bonjour,

\sqrt{3}\sin x = \cos x; donc \sin x et  \cos x, ont le mème signe. Ceci te permet d'écarter les mauvaises solutions. Car en passant au carré "tu ramasse" des solutions qui ne sont pas solutions de l'équation initiale. Donc  1er et 3ème quadrant.

En passant à \sqrt{3}\sin x = \cos x\Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}, c'est mieux sinon ta deuxième façon est bonne.

Posté par
alb12re : Trigonométrie 22-03-18 à 16:21

oui alpha +pi

Posté par
alb12re : Trigonométrie 22-03-18 à 18:30

Hitsuna @ 22-03-2018 à 16:11

Comme le cosinus peut-il valoir 1/V5 si l'on se place dans ce quart de cercle ?

dans le troisieme quadrant le cos et le sin sont negatifs, l'angle est alpha +pi

Posté par
Hitsunare : Trigonométrie 22-03-18 à 18:50

Si le cosinus est négatif, pourquoi avoir trouvé cosx=1/V5 qui est positif ?

Posté par
alb12re : Trigonométrie 22-03-18 à 20:05

alpha est solution, son sin et son cos sont positifs
alpha+pi est solution, son sin et son cos sont negatifs


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