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Trigonométrie

Posté par
clarisse1
29-11-20 à 12:22

Bonjour, j'ai besoin d'aide))

Alors voici mon sujet:

Résoudre dans R l'équation 2cos**2(x)+9cos(x)+4=0
Merci de votre aide.

Posté par
carita
re : Trigonométrie 29-11-20 à 12:30

bonjour

faire un changement de variable en posant x = cos(x)

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 29-11-20 à 12:31

Bonjour

l'exponentiation se note plutôt ^   à défaut d'utiliser X^2

Un changement de variables peut-être !

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 29-11-20 à 12:32

Bonjour carita

Vous êtes bien plus charitable que moi.

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 29-11-20 à 12:32

Donc plutôt comme ça?

2cos^2(x)+9cos(x)+4=0

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 29-11-20 à 12:33

Oui  ou (cos x)^2

Posté par
carita
re : Trigonométrie 29-11-20 à 12:33

bonjour hekla
poursuivez si vous voulez.

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 29-11-20 à 12:36

Non vous pouvez continuer

\tiny \text{ je vais plutôt aller vers les casseroles}

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 29-11-20 à 21:41

Bonsoir,
durant la journée j'ai peut être réussi mais ce n'est pas sûr.
Alors voilà ce que j'ai fait:

2cos^2(x)+9cos(x)+4=0
2cosx^2+9cosx^2+4=0
4cosx+18cosx+16=0
22cosx=-16
cosx=-16/22
cosx=-8/11

Dites moi si je suis presque j'espère beaucoup.
Merci beaucoup

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 29-11-20 à 21:51

Faisons un changement de variables

on pose X=\cos x

l'équation devient  2X^2+9X+4=0

on reconnaît une équation du second degré que l'on traite comme telle
et on retourne à x  en résolvant  s'ils existent

\cos x= X_1 \quad \cos x=X_2

les exposants  que vous avez écrits varient d'une ligne à l'autre

Posté par
carita
re : Trigonométrie 29-11-20 à 21:52

carita @ 29-11-2020 à 12:30

faire un changement de variable en posant x = cos(x)


ton équation devient alors 2x²+9x+4=0
à résoudre

Posté par
carita
re : Trigonométrie 29-11-20 à 21:53

ah vous êtes là.
très bien, je vous laisse poursuivre.
bonne soirée à tous les deux

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 29-11-20 à 21:56

Ce qui me donne un résultat de 18x^2-64x non?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 29-11-20 à 22:04

Non  pourquoi cela  ? je vous l'ai écrit

l'équation devient  2X^2+9X+4=0

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 29-11-20 à 22:05

Oui mais en utilisant la formule du second degré. Nous arrivons à cela?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 29-11-20 à 22:17

\Delta= 81-32=49

 X_1=

X_2=

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 01:02

Nous obtenons

x1= -9-racine113/4
x2=-9+racine113/4

Non?

Posté par
pgeod
re : Trigonométrie 30-11-20 à 09:01

Pourquoi racine113 ??
Comme vient de l'indiquer hekla :
= 81-32=49

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 10:12

Bon je pense que c'est pas mon jours mais j'ai bien compris merci beaucoup à vous tous.

Posté par
carita
re : Trigonométrie 30-11-20 à 10:19

bonjour à tous

clarisse1,
quel ensemble de solution as-tu trouvé pour l'équation  2cos²(x)+9cos(x)+4=0  ?

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 12:30

Bonjour,

J'ai trouvé x1= 4 et x2=2/4

C'est bien ça?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 30-11-20 à 12:45

Il me semble qu'il y a erreurs de signes

d'autre part  \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}

Posté par
carita
re : Trigonométrie 30-11-20 à 12:46

erreurs de signe à retrouver :     X1 = -4  et X2 = -1/2

... mais ce n'est pas terminé,  parce X n'est pas l'inconnue de l'équation de départ : c'est x.

tu as posé X = cos(x).

1) que penses-tu des solutions -4 et -1/2 trouvées précédemment ?
2) relis le message de hekla 29-11-20 à 21:51

Posté par
carita
re : Trigonométrie 30-11-20 à 12:46

bonjour hekla
je vous laisse poursuivre.

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 12:51

hekla quand vous dites "on reconnaît une équation du second degré que l'on traite comme telle et on retourne à x  en résolvant  s'ils existent " je ne comprends pas très bien

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 30-11-20 à 13:11

Vous avez effectué le changement de variables  vous avez obtenu  2X^2+9X+4=0

  Vous l'avez résolu en calculant \Delta  puis X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ou X_2=

On trouve  X_1=-4 ou X_2=

maintenant retour en x  On doit résoudre \cos x=-4 ou \cos x=

Est-il possible de trouver un réel x tel que \cos x=- 4 ?


Comme les solutions n'étaient pas toujours possibles,  exemple avec \Delta <0

c'est bien pour cela que j'ai pris la précaution de  dire  si les solutions existent

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 13:39

C'est impossible de trouver un réel qui vaut -4 car il est négatif.

Une question pour résoudre cosx=-4 est-ce qu'on doit le remplacer dans 2cosx^2+9cosx+4=0 ?

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 13:44

En remplaçant cosx=-4 on obtient 0. Pour cosx=-1/2, c'est le même résultat.
Donc est-ce qu'on peut conclure que dans R il n'existe pas de solutions?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 30-11-20 à 14:00

Ce n'est pas parce que -4  est négatif qu'il n'existe pas de x mais parce qu'un cosinus est compris entre -1 et 1

Vous avez montré que si vous remplacez \cos x par -4 vous obtenez bien 0 dans l'équation première

  de même avec -\dfrac{1}{2}

Vous n'avez pas encore résolu l'équation puisque l'on veut la ou les valeurs de x qui vont rendre cette expression nulle.

  On va donc chercher maintenant les x pour lesquels le cosinus vaut -4
Là on a vu qu'il n'y en avait aucun

  Il reste donc à trouver ceux pour lesquels  \cos x=-\dfrac{1}{2}

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 14:07

Est-ce qu'il faut dire que cosx=-1/2 est aussi égale à -pi/3 ?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 30-11-20 à 14:19

Vous résolvez maintenant \cos x=\dfrac{-1}{2}  comme toute équation trigonométrique

\cos x=\cos \dfrac{-\pi}{3} d'où x= -\dfrac{\pi}{3}+\dots  $ou $  x=


et vous terminez en donnant l'ensemble solution

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 14:29

Donc dans 2cosx^2+9cosx+4=0, on remplace cosx par -pi/3?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 30-11-20 à 14:45

L'équation de départ ne nous intéresse plus.

On sait qu'elle sera vraie  si l'on trouve des x pour lesquels

\cos x=-4 (tranquille il n'y en a pas un seul )

ou \cos x=-\dfrac{1}{2}  et là malheureusement il y en a une infinité

Comme vous avez commencé à le dire ceux de la forme  -\dfrac{\pi}{3}  + 2k\pi et il en existe encore toute une série

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 14:53

Donc il existe des solutions entre [-pi/3+2kpi; pi/3+2Kpi] non?

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 14:57

Donc entre entre [5pi/3;7pi/3]  non?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 30-11-20 à 15:03

\cos x=\cos \theta  \qquad x=\begin{cases}\theta+2k\pi& k\in\Z\\\pi+2k'\pi&k'\in \Z\end{cases}

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 30-11-20 à 15:04

lire \pi +\theta 2e ligne

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 15:05

Je suis désolée mais est-ce que  en réponse on met:

https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\cos%20x=\cos%20\theta%A0%A0\qquad%20x=\begin{cases}\theta+2k\pi&%20k\in\Z\\\pi+2k%27\pi&k%27\in%20\Z\end{cases}

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 15:06

Oupps j'ai fait une fausse manip donc est-ce que dans ma réponse je met ce que vous avez mis?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 30-11-20 à 15:13

ensemble solution

\left\{-\dfrac{\pi}{3} +2k\pi\ k\in \Z ~;~-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi \ k'\in\Z\right\}

Posté par
clarisse1
re : Trigonométrie 30-11-20 à 15:18

D'accord,
Je me sens très idiote.
Alors merci beaucoup pour tout

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 30-11-20 à 15:21

Il n'y a vraiment pas de quoi, si vous n'aviez jamais résolu d'équations avec changement de variables L'important est d'avoir compris.

De rien  

Posté par
Vale7401
re : Trigonométrie 14-12-20 à 18:10

bonjour
je regarde ce sujet et hekla je ne comprends pas votre réponse car cos(\frac{-\pi}{3})


\frac{-1}{2}

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 14-12-20 à 18:27

Bonjour


exact \cos x=\dfrac{-1}{2} =\cos \dfrac{2\pi}{3}

\left\{\dfrac{2\pi}{3} +2k\pi\ k\in \Z ~;~-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi \ k'\in\Z\right\}


30/11 15 :03

\cos x=\cos \theta  \qquad x=\begin{cases}\theta+2k\pi& k\in\Z\\ -\theta+2k'\pi&k'\in \Z\end{cases}

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 14-12-20 à 18:58

Désolé  mes excuses clarisse1

Posté par
Vale7401
re : Trigonométrie 15-12-20 à 14:59

Comme ça elle se sent moins idiote



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