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Trigonométrie et polygone
Bonjour voici mon énoncé :
Le graphique représente un pentagone régulier ABCDE de centre O et de côté 1 et les demi-droites [BA)
[CB) ; … et [AE). On a alors construit la spirale à cinq arcs en traçant les arcs de cercle AF de centre B,
FGG de centre C, … et IJ de centre A.
1) Rappeler la définition d'un polygone régulier.
2) Calculer la mesure en radian des angles
géométriques , et .
3) Montrer que la longueur de cet arc de spirale
est 6π
4) En poursuivant la construction combien d'arc
de cercles faut-il tracer pour que la longueur
de cet arc de spirale dépasse 2025 ?
5) Donner alors sa longueur et le nombre de
tours effectués autour du point O.
REM : la spirale tracée « fait » un tour autour de O.
On peut aussi donner une relation (de récurrence) entre les rayons et les longueurs de deux arcs
de cercle successifs …
Pour la 1 j'ai mis : Un polygone régulier est un polygone à la fois équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) et équiangle (tous ses angles ont la même mesure)
Mais pour la question 2 je pense qu'il faut utiliser la trigonométrie mais je ne sais pas
Bonjour,
la trigo ... hum. un bien grand mot pour dire qu'un tour complet mesure 360°
et donc une fraction de tour ...
et que la somme des angles d'un triangle ,,,
ce n'est que ça pour la question 2
non
on a découpé le disque en 5 secteurs égaux pour obtenir un pentagone régulier
les angles AOB=BOC=COD=DOE=EOA
et le tout fait 360°
on s'occupera ensuite du triangle AOB et de ses deux autres angles
AOB est bon
Mais en le multipliant par 2 tu obtiens ... AOC et pas ABC
ABC est le double de ABO
donc une façon de calculer ABC est de calculer d'abord ABO dans le triangle du même nom
triangle isocèle en O puisque OA et OB sont deux rayons
avec ton ABC faux, ABF aussi, la méthode est bonne mais pas la valeur de ABC dans ce calcul.
ABO = (180 - 72 )/2 = 54 Pour le triangle isocèle
Donc ABC = 2*ABO = 2*54 = 108
ABF = 180 - 108 = 72
Bonjour,
Tu aurais pu mettre l'unité, comme précédemment, mais, de toute façon, l'énoncé demande une réponse en radians, donc, soit tu convertis ensuite les 72°, soit tu pars de AOB=2
/5.
l'arc AF est 1/5 de cercle (1/5 de 2pi) de rayon ?
l'arc FG est ?? de cercle de rayon ??
etc
la somme est ...
On sait que AB = 1 pour obtenir AF on multiplier ABF par AB
Cet arc de spirale = AF + FG + GH + HI + IJ
Donc l'arc de spirale = 2π/5*(1+2+3+4+5) = 2π/5*(15) =6π
pour la question 4 j'ai fiat
An+1 = An + 2π/5 *(n+1)
An étant la longueur de l'arc
A5 = 6π
Pour répondre a la question combien d'arc
de cercles faut-il tracer pour que la longueur
de cet arc de spirale dépasse 2025 ?
J'ai fait un script
import math
pi = math.pi
def arc (s):
T = 6*pi
n = 5
while T<=s:
n = n+1
T = T + (n*(2*pi/5))
return n, T
quand je rentre arc(2025) ca me donne (57, 2077.221062553571)
Est ce que je peux répondre la question de cette manière
Il faut donc tracer 52 arc de cercle en plus pour qua la longueur de l'arc dépasse 2025
Et pour la question 5 on a ca longueur 2077.221062553571
pour trouver le nombre de tour on divise par 6π.
Donc 661,2π / 6π = 110,2 tour
Bonjour, si ce n'est pas trop tard,
Oui pour 52 arcs en plus, mais le passage par Python n''était pas indispensable. Tu pouvais raisonner en termes de somme d'entiers en écrivant que n*(n+1)/2*2*/5 devait être supérieur à 2025 et en résolvant l'inéquation du second degré correspondante.
Par contre, je ne suis pas d'accord avec ton nombre de tours, Les longueurs des arcs de cercle ne sont pas constantes, dont 6 est uniquement valable pour le premier tour. Mais, de toute façon, il y a beaucoup plus simple. Un tour fait 5 arcs de cercles, donc, comme tu as 57 arcs au total, le nombre de tours vaut ...
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