Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Trigonométrie et suites
Bonjour, je bloque sur un exercice mélangeant suites et trigonométrie. Je n'ai jamais vu de suite de cette forme, j'aurais besoin d'un coup de pouce pour me débloquer ! Merci d'avance.
On considère deux suites de nombres réels:
(Un)= sin(1/n^2) + sin (2/n^2) + ... + sin(n/n^2)
(Vn)= (1/n^2) + (2/n^2) + ... + (n/n^2)
n appartient à IN*
1) a- démontrer que (Vn) converge vers 1/2.
b- démontrer que (Un) est croissante.
2) a- Démontrer que chacune des trois fonctions numériques de variable réelle:
x -> x - sin (x)
x -> - 1 + (x^2/2) + cos (x)
x -> - x + (x^3/6) + sin (x)
... ne prend que des valeurs positives ou nulles sur l'intervalle I= [0; + infini[. On pourra utiliser les variations de chacune de ces trois fonctions.
b- Justifier que, pour tout n > ou égal à 1, 1^3 + 2^3 + ... + n^3 < ou égal à n^4
c- Déduire du 2)a- l'égalité:
Vn - (1/6) . (1/n^2) < ou égal à Un < ou égal à Vn
Pour tout n non nul
d- Démontrer en utilisant les questions 1)b- et 2)c- que la suite (Un) est convergente puis déterminer sa limite.
Je bloque dès la première question, pour la deuxième j'ai tenté la récurrence Un+1 > ou égal à Un mais passé l‘initialisation, je bloque toujours...
Vn = (1/n²) ( 1 + 2 + .... + n)
avec ( 1 + 2 + .... + n) somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Donc (Vn) est arithmétique ! Je peux trouver la raison de la suite, en déduire Vn+1 puis utiliser le théorème de convergence monotone pour trouver la limite, quelque chose comme ça?
Ben non.
Ma remarque te permet d'exprimer Vn de manière
explicite en fonction n : Vn = f(n)
Ensuite de monter que la fonction f est décroissante,
puis d'en déterminer sa limite quand n --> +oo
puis de conclure.
Quand je cherche la limite de Vn= (1/n^2).(1+2+...+n) quand n tend vers + infini je suis face à une forme indéterminée...
Bonjour,
J'ai alors Vn = (1/n^2) . (n(n+1)/2) = (1/n^2) . ((n^2 + n)/2) = n/2
La limite est donc +infini .....
Merci beaucoup, j'ai réussi !
Possible d'avoir un petit coup de pouce pour la récurrence de la 1)b- (à savoir Un+1> ou égal à Un) ?
N'ayant pas la formule de récurrence Un+1=... je ne sais pas comment procéder.
(Un+1)= sin(1/(n+1)²) + sin (2/(n+1)²) + ... + sin (n/(n+1)²) + sin((n+1)/(n+1)²)
(Un)= sin(1/n^2) + sin (2/n^2) + ... + sin(n/n^2)
n < n+1
n² < (n+1)²
1/(n+1)² < 1/n² <1
----- la fonction sin est croissante sur [0, pi/2]
sin (1/(n+1)²) < sin (1/n²)
Annuler
connectez vous