Salut

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x est égal à la longueur de l'arc AC, sin(x) la longueur du segment [AB].

or la longueur de l'arc AC est supérieur à la longueur du segment [AC] (plus court chemin entre deux points ...) lui même supérieur à la longueur de [AB] (triangle rectangle).

Est-ce suffisant?

Bonsoir !

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La longueur de la demi-corde perpendiculaire à l'axe x (sinus) est logiquement plus petite que la longueur du demi arc (mesure de l'angle en radian)...

rhaa ! Grillé ! Bonsoir NM.

salut plumeteore,

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n'ayant pas lu les blankés, mais bon suffit de voir la figure de Nightmare, comme le plus court chemin entre deux points est la ligne droite, on en déduit que sin(x)<x

bonsoir Nightmare, Matovitch et Yoyodada

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c'est l'explication attendue
cette propriété a été posée récemment par un élève de terminale et LittleGuy y a répondu en utilisant la dérivée de sin(x)-x

Bonsoir à tous.

Ce n'était pas sur [0,pi], c'était sur R, c'était donc faux, et ma démonstration complètement farfelue d'ailleurs ; je ne donne pas le lien

C'est à partir de ce schéma (avec en sus tanx sur un axe vertical) qu'on expliquait naguère au lycée la limite en 0 de (sin x)/x.

J'ouvre pas d'autre topic, mais :

Un théorème de comparaison compte-t-il comme un calcul?

Je le faisais avec des comparaisons d'aires, mais il y avait quand même un "calcul" (si léger fût-il).

NM >> Pose toujours.
Bon, on ne va pas dire montrer, mais prouver, car il s'agit d'utiliser un résultat évident.

Bon Weekend !

Personne ?
Bon ben je remet une couche : A l'aide du cercle trigo , déterminez .

MV

Salut MV,

pour ton premier résultat, montrer que lim(x-->0) sin(x)/x = 1 :
on a montré déja que pour tout x dans [0;pi], 0 < sin(x)< x
or on peut montrer aussi que tan(x) > x (avec un dessin aussi, mais bon trop long j'ai pas le temps )
Donc en multipliant par cos(x) qui est positif sur [0;pi/2], on a sin(x)>x.cos(x)
Donc on peut encadrer x < sin(x) < x.cos(x)
donc 1 < sin(x)/x < cos(x).
Donc lim(x-->0)sin(x)/x = 1

Pour l'autre résultat, ben on pose X = 1/x
donc sin(1/x)*x = sin(X)/X et comme X --> 0 quand x tend vers l'infini, et bien on en revient au calcul précédent, donc la réponse est 1.

yoyodada >> Je n'avais pas vu ta réponse, mais c'est bon.

Je relance ce topic pour vous demander de montrer géométriquement que .

Bonne réflexion !

Salut MV,

comme j'arrive pas à attacher mon image, je vais tenter de décrire la manip'.
Soit D la droite tangente au cercle trigo au point M(cos(x),sin(x)).
Soit N le point d'intersection de l'axe (O,i) avec D.
Alors MN = tan(x).
arctan(x) est l'angle a dans ]-pi/2;pi/2[ tel que sa tangente vaut x.

Le mieux est de faire un petit dessin.
Avec ce dessin, on voit que cos(a) = 1/(1+x²)^1/2.
Donc a = arccos[1/(1+x²)^1/2]    si a est dans [0;pi/2[ et a = -arccos[1/(1+x²)^1/2] si a est dans ]-pi/2;0]

donc cos(arctan(x)) = cos(a) = cos(+/- arccos[1/(1+x²)^(1/2)]) = 1/(1+x²)^(1/2)
en l'inversant et en le mettant au carré on trouve bien le résultat voulu

Bravo !
Sinon, je prend la tangente = x, et avec thalès on trouve encore plus facilement.