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Niveau seconde
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Trigonométrie (seconde)

Posté par
stella
29-11-04 à 11:43

Bonjour

1) ABC est un triangle quelconque [CH] est sa hauteur issue de C. Un utilisant la trigonométrie dans le triangle ACH, démontrer que l'aire du triangle ABC est Aire(ABC) = 1/2 AB x AC x sin BAC. Proposer deux autres formules analogues permettant de calculer la même aire.

2) On considère un quart de cercle AB de centre O dont le rayon est pris pour unité de mesure. C'est le point de cet arc tel que le triangle OBC soit équilatéral. Les segments [AB] et [OC] sont sécants en D. Faire un schéma.
a) Construire le point H projeté orthogonal de C sur [OA]. Calculer les distances OH et CH, puis démontrer l'égalité AC = V2 -V3 (La racine va sur 2 et racine de 3).
b) Déterminer les mesures en radians des angles BAC et ABC.
C) En utilisant la formule (1), démontrer que l'aire du triangle ABC est Aire(ABC) = V2 x V2 -V3 (La racine va sur 2 et racine de 3) / 4
d) En utilisant l'une des deux autres formules analogues démontrer que sin ABC = V2 -V3 (La racine va sur 2 et racine de 3) / 2
A l'aide de la calculatrice en donner une valeur approchée arrondie à trois décimales. Vérifier cette valeur approchée en utilisant la mesure en radians de l'angle ABC
Pouvez-vous m'aider, SVP merci
Dieu sait que je m'y suis penchée, mais vraiment je n'y comprend rien. C'est trop loin pour moi ce genre de problème
Stella

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Trigonométrie (seconde) 29-11-04 à 12:53

1)

Dans le triangle rectangle ACH, on a:

CH = AC.sin(BAC)

Aire(ABC) = (1/2).AB.CH

Aire(ABC) = (1/2).AB.AC.sin(BAC)
---
Par une méthode analogue mas en partant alors des hauteurs issues de A et B, on trouve:

Aire(ABC) = (1/2).AC.CB.sin(ACB)
et
Aire(ABC) = (1/2).AB.BC.sin(ABC)
-----
Sauf distraction.  




Trigonométrie (seconde)

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Trigonométrie (seconde) 29-11-04 à 13:41

2)
a)

Angle(BOC) = 60° (puisque le triangle ABC est équilatéral).

-> angle(AOC) = 30°

OC = OB = 1 (puisque le triangle ABC est équilatéral).

Dans le triangle rectangle OHC:
OH = OC.cos(AOC)
OH = 1.(V3)/2  (avec V pour racine carrée)

OH = (V3)/2

CH = OC.sin(AOC)
CH = 1.(1/2)
CH = 1/2

AH = AO - OH
AH = 1 - ((V3)/2)

Dans le triangle rectangle AHC, Pythagore ->
AC² = AH² + CH²

AC² = (1 - ((V3)/2))² + (1/4)
AC² = (1 - V3 + (3/4)) + (1/4)
AC² = 2 - V3

AC = V(2-V3)
---
b)
Dans le triangle rectangle AOB, pythagore:
AB² = OA² + OB²
AB² = 1 + 1 = 2
AB = V2

L'angle au centre (COB) et l'angle (BAC) avec son sommet sur le cercle sous-tendent la même corde BC du cercle.
Comme on a aussi O et A du même coté de la corde BC, on a donc: Angle(BAC) = (1/2) angle(COB)

Angle(BAC) = (1/2) angle(COB) = (1/2).(Pi/3)
Angle(BAC) = Pi/6

L'angle au centre (COA) et l'angle (ABC) avec son sommet sur le cercle sous-tendent la même corde AC du cercle.
Comme on a aussi O et B du même coté de la corde AC, on a donc: Angle(ABC) = (1/2) angle(COA)

Angle(ABC) = (1/2) angle(COA) = (1/2).(Pi/6)
Angle(ABC) = Pi/12
---
c)
Aire(ABC) = (1/2).AB.AC.sin(BAC)
Aire(ABC) = (1/2).V2.V(2-V3).sin(Pi*6)
Aire(ABC) = (1/2).V2.V(2-V3).(1/2)
Aire(ABC) = [V2 .V(2-V3)]/4
---
d)
Aire(ABC) = (1/2).AB.BC.sin(ABC)

[V2 .V(2-V3)]/4 = (1/2).V2.1.sin(ABC)
[V(2-V3)]/2 = sin(ABC)
sin(ABC) = [V(2-V3)]/2

angle(ABC) = arcsin[(V(2-V3))/2] = 0,262 radian.

Or on avait trouvé angle(ABC) = Pi/12 = 0,262 (arrondi à la 3 ème décimale) -> OK.
-----
Sauf distraction.  


Trigonométrie (seconde)

Posté par
stella
re : Trigonométrie (seconde) 29-11-04 à 14:16

Bonjour J-P

Merci beaucoup. Maintenant, grâce à ton aide  je vais me repencher sur l'exercice, et si je ne comprends pas je reviendrai.
@ bientôt
Stella



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