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Niveau Maths sup
trinome
Posté par Redman
bonjour,
soit p et q deux complexes, P le polynôme:
Condition nécessaire et suffisante sur p,q pour que les racines de P aient:
a) le même module
b) le même argument
c) des arguments opposés
(Ceci est un oral de l'X posé l'année dernière)
merci d'avance, toute idée est la bienvenue
Bonjour, redman
La question c) est de loin la plus facile.
Si les deux racines ont des arguments opposés, leur produit, qui vaut q, est strictement positif.
Réciproquement, si q est strictement positif, les deux racines ont des arguments opposés.
Passons à la question b.
Si les deux racines ont même argument, on peut écrire
On en déduit que: et
Réciproquement, si ces deux conditions sont satisfaites, il est facile de vérifier que les deux racines ont même argument.
Pour la question a, dont j'ai la solution, je vais attendre que redman (ou quelqu'un d'autre 
) se manifeste.
salut
a) même module.
il faut que O est sur la médiatrice de M1 et M2 les points d'affixes z1 et z2 racines de l'équation
en traduisant que le produit scalaire de M1M2.OI = 0 I milieu de [M1M2] a comme affixe (z1+z2)/2
donc (z1+z2)(z1-z2)* =0 (1) a* conjugué de a
1 - cas M1 et M2 ne sont pas confondus, pas de racines doubles.
(1) => z1+z2=0 => p=0 et q quelconque.
2. une racine double M2=M1 donc z2=z1
alors q=p^2/4
Bonjour, disdrometre
Ta solution comporte une erreur
Citation :
en traduisant que le produit scalaire de M1M2.OI = 0 I milieu de [M1M2] a comme affixe (z1+z2)/2
donc (z1+z2)(z1-z2)* =0 (1) a* conjugué de a
en traduisant que le produit scalaire de M1M2.OI = 0 I milieu de [M1M2] a comme affixe (z1+z2)/2
donc (z1+z2)(z1-z2)* =0 (1) a* conjugué de a
C'est la partie réelle de cette expression qui est nulle (la partie imaginaire pouvant être non nulle).
a,b les racines du polynôme
b a le même module que a, b est donc déduit de a par une rotation de centre O et d'angle c ( c réel)
b=aexp(ic)
|q| = |a|
p = -a(1 + exp(ic))
|p| = |a|( 2 + 2cos(c))
il faut que