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trinômes
Bonjour,
J'ai un petit problème en maths que je n'arrive pas à résoudre et j'aimerais si possible avoir un petit coup de main s'il vous plait.
On considère l'équation 2x au carré-3x-14=0
1) Déterminer une racine évidente (c'est -2) mais il faut calculer l'autre racine sans calculer le discriminant
pareil pour 2x au carré-7x-19=0
1) Montrer sans calculer le discriminant que cette équation admet 2 solutions que l'on notera x1 et x2.
2) Déterminer alors x1+x2 ; x1*x2 ; x1 au carré + x2 au carré et 1/x1+1/x2
A bientôt et merci
Si un polynôme P(x) a une racine x1, alors P(x) peut être factorisé par (x-x1) ; c'est du cours ça !
Donc,
P(x)=2x2-3x-14
P(-2)=0 donc on peut trouver un polynôme Q(x) tel que P(x)=[x-(-2)]*Q(x)=(x+2)*Q(x)
Mais comme P est du deuxième degré, Q(x) est du premier degré, c'est à dire de la forme ax+b
Donc, le simple fait que P(-2)=0 te permet d'écrire : P(x)=(x+2)*(ax+b). Ensuite, à toi de trouver a et b !
Donc : 2x2-3x-14 = (x+2)*(ax+b)
2x2-3x-14 = ax2+bx+2ax+2b = ax2 + (2a+b)x + 2b
En identifiant les coeffcients, on trouve :
a=2
-3=2a+b
-14=2b
Cela fait trois équations à deux inconnues. En fait tu peux trouver a et b très facilement avec les deux premières : la troisième te confirmera la valeur de b.
De la première tu tires : a=2
De la deuxième tu tires b=-3-2a=-7
Et avec la troisième tu confirmes b=-7
Finalement, 2x2-3x-14 = (x+2) * (2x-7)
A ce stade, il faut penser à vérifier en redéveloppant le membre de droite et en vérifiant qu'on obtient bien le membre de gauche !
Et la factorisation te fournit immédiatement les deux racines. Un produit ne peut être nul que si l'un des facteurs est nul. Donc (x+2) * (2x-7) = 0 si x+2=0 (d'où la première racine x=-2) ou si 2x-7=0 (d'où la deuxième racine x=7/2)
Pour 2x2-7x-19=0. D'après le modèle du cours ax2+bx+c=0, on a ici a=2, b=-7 et c=-19. Or on sait que le discriminant est b2-4ac. Comme a et c sont de signes contraires, ac est strictement négatif, par conséquent le discriminant b2-4ac est strictement positif ! Sans calculer le discriminant, on peut donc affirmer que le trinôme a deux racines distinctes x1 et x2 !
D'autre part, le cours (oui, toujours lui ! puisque le professeur vous pose ce problème, je pense qu'il vous l'a enseigné) dit que la somme des deux racines était égale à -b/a et que le produit était c/a.
On peut donc dire, toujours sans calculer les racines (dont on est certain qu'elles existent) que :
x1+x2=7/2
et que :
x1x2=-19/2
En outre, on peut aisément calculer x12+x22 par :
(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2 d'où : x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=49/4+19=125/4
et aussi :
Je te laisse terminer ; faut bien que tu travailles un peu quand même !
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