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Trinômes,ne rien casser...

Posté par
alainpaul 25-08-15 à 15:30

Bonjour,

Eviter de se lancer dans les calculs est possible;voici quelques exemples:

Résoudre $(x-5)(x-3)-3 = 0$   (1),

       $y-cos^2(a))(y+sin^2(a))-6 = 0$

Le premier trinôme peut s'écrire:
$(x-5)(x-3)-1\times 3=0$
$(x-5)(x-3)-(-3)\times(-1)=0$
un appariement adéquat entre facteurs nous donne les 2 racines,
vérification avec (1).

Un autre trinôme:
---------------------
$(x+2i)(x+2i+2)+2=0$

factorisez 2,

Un polynôme du 3 ème  degré:
--------------------------------

résoudre $(x+3)(x+4)x+5)+24=0$

Alain

Posté par re : Trinômes,ne rien casser... 25-08-15 à 18:14

Bonjour,

Ne rien casser, c'est surement de l'intuition résultat d'une longue habitude...
Pour la première équation, les racines 6 et 2 viennent peut-être assez bien pour équilibrer le -3,

pour la seconde, il faut ultra bien maitriser cos(2a) et la trigonométrie pour deviner
les racines (cos(2a)-5)/2 et (cos(2a)+5)/2 équilibrant -6 avec 2x3

pour la 3ème, les racines -1-i et -1-3i peuvent se deviner si on voit -2 comme (i-1)(i+1)

pour la 4ème, la racine -7 est assez évidente, mais pas les 2 autres ?

Sans doute ne faut-il pas passer plus de quelques secondes d'observation sur ce genre d'équation,
sous peine d'avoir perdu du temps avant de résoudre par des méthodes classiques...
Mais ces quelques secondes peuvent effectivement être rentables !

Beaux exemples.

Posté par re : Trinômes,ne rien casser... 25-08-15 à 18:48

Bonsoir,

"Sans doute ne faut-il pas passer plus de quelques secondes d'observation sur ce genre d'équation,
sous peine d'avoir perdu du temps avant de résoudre par des méthodes classiques...
Mais ces quelques secondes peuvent effectivement être rentables ! "

Ton commentaire est pertinent.

La base :une raison commune r $(x+a)(x+a+r)-b(b+r)=0$
une seconde écriture $(x+a)(x+a+r)-(-(b+r))(-b)=0$ ,
appariement dans l'ordre des facteurs.

Je te réponds:
(2) la raison est $r=sin^2(a)-(-cos^2(a))=1 ,2(2+1)=6$

(4) $(x+3)(x+4)(x+5)-(-4)(-3)(-2)=0$
ceci nous donne une seule racine,

Alain

Posté par re : Trinômes,ne rien casser... 27-08-15 à 17:57

Bonsoir ,

En réponse à # vham #

Le polynôme $p_3(z)=z(z+a)(z+b)-c(c+a)(c+b)=0$ se factorise
de la manière suivante:
$p_3(z)=(z-c)(z^2+(a+b+c)z+(a+b)(b+c))$
le terme constant étant donné directement.

Ceci pour le (4),

Alain