Bonjour,
Amusant..
On suppose que le joueur adverse optimise l'endroit du déplacement
pour favoriser le jeu du suivant.

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Pour  Q1 un disque de rayon  1+(3/2 sin/8) 3.263

Bonjour Dpi

En effet il faut supposer pour chacune des deux questions que les joueurs ont une stratégie commune .

Je fais un peu mieux que toi pour Q1

Imod

Bonsoir,
une tentative :

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En plaçant les pièces sur les sommets d'un rectangle de côtés 2 et 4 on peut jouer indéfiniment.
Ce qui donne un disque de rayon 1+52,236.
Je crois que c'est le minimum.

Bonsoir Verdurin

Tu peux décrire le mouvement des pièces , je rappelle que la même pièce ne peut pas être déplacée deux fois de suite  .

De toute façon j'ai mieux que toi

Imod

Bonsoir Imod.
Je ne vois guère l'intérêt de détailler une solution qui n'est pas optimale, mais je peux le faire si ça intéresse quelqu'un.

Pour la question 2 :

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Je crois qu'il n'est pas possible d'avoir un jeu infini avec la condition supplémentaire.
Mais je n'en suis pas certain.

Je voulais simplement t'aider car il y a bien 2 et 4 quelque part mais à y regarder de plus près ...

Pour Q2 , il faudrait justifier bien sûr

Imod

>verdurin

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Ton rayon est un peu court

Bonjour,
Merci d'animer Imod
Je n'ai pas compris ce qu'apporte l'existence de plusieurs joueurs s'ils adoptent une stratégie commune.
Remplacer

Finalement, pour Q1

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On a AB=AC=4 et BC=2.
À chaque coup on déplace alternativement la pièce en B et la pièce en C pour la ramener au même endroit.
En fait, passé le premier coup, il n'y a qu'une possibilité pour chaque coup.

Le tout se passe dans un disque de rayon

@Sylvieg : tu as raison , la présence de deux joueurs n'apporte rien au problème pour le moment mais j'ai signalé que j'envisageais éventuellement d'autres variantes où les joueurs pourraient s'opposer .

@verdurin : j'ai la même figure avec un triangle 4-4-2 .

Il reste la question 2

Imod

Bonjour,

je ne comprends pas :
doit passer, pour moi ça veut dire qu'on doit effectivement le faire passer (donc que l'on franchit la ligne des centres des deux autres cercles)
et pas qu'on pourrait le faire passer, mais qu'on le déplace effectivement ailleurs.

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ainsi en déplaçant B son centre doit après le 1er coup se trouver en un point B₁ dans la zone verte

maizalors ... au second coup aucun des deux cercles A ou C ne peut être déplacé en franchissant une des lignes des centres CB₁ ou AB₁

Bonjour mathafou

Je crois que tu n'a pas compris la solution de Verdurin , c'est B qui passe à travers le segment [AC] avant de revenir en place puis C fait le même mouvement par rapport à [AB] .

Imod

J'ajoute deux questions Q3 et Q4 qui sont les mêmes que Q1 et Q2 avec une contrainte supplémentaire : "l'ordre de déplacement des pièces doit être cyclique : ABCABCABC ..." .

Je précise qu'il s'agît d'un problème personnel et que mes solutions n'ont aucune raison d'être optimale . Pour le moment je suis en accord avec la réponse Q1 de Verdurin .

Imod

donc c'est bien ce que je dis, l'énoncé devrait être

la pièce déplacée doit pouvoir passer
et pas doit passer

Si tu veux , elle peut aussi passer et repasser comme l'eau ferrugineuse

Pour la question 2 elle doit franchir le passage et restée de l'autre côté .

Imod

pour la question 2 on a la solution "évidente"
reste à savoir si on peut mieux faire...

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au bout des 6 coups nuérotés, on retrouve la configuration de départ.

J'ai la même chose . On remarque que la pièce verte ne bouge pas , d'où la question Q4 ( qui ne devrait pas faire long feu ) .

Imod

Pour Q1 je trouve r= 3.123

@Dpi : on peut faire mieux .

Imod

Pour Q4 :

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on peut placer les centres des pièces aux sommets d'un triangle équilatéral de côté 4.
Chaque pièce traverse le côté opposé puis revient à sa place.

Ce qui donne un rayon de .

Je n'avais pas vu Q4 de cette façon , l'axe des centres étant une droite mais on peut envisager la question sous cet angle ( disons Q5 ) .

Imod

Non , en fait je crois que tu répondais à Q3 et nous avons le même résultat .

Q4 est très ouvert

Imod

Une petite précision pour Q4 car le vocabulaire employé peut prêter à confusion  .

A tour de rôle chacune des pièces doit passer entre les deux autres et traverser complètement la ligne des centres . Ensuite elle peut continuer son chemin mais ne doit plus jamais rencontrer cette ligne .
Ici par exemple la pièce rouge est montée trop haut :


Imod

Salut Imod.
En effet je me suis trompé de numéro de question.
De fait il y a un peu mieux pour Q3.

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Les centres des pièces sont sur les sommets d'un rectangle de côtés 2 et 4 ( voir mon premier message ).
Elles tiennent donc dans un disque de rayon .
Les mouvements successifs :

Avec six mouvements on arrive a une position symétrique de la position de départ et donc en douze mouvements on revient à la position de départ.

Bien vu , un petit passage de l'autre côté uniquement pour libérer l'autre extrémité de la diagonale

J'ai commencé à regarder Q4 qui a l'air vraiment coton . J'arrive à placer les centres sur deux lignes brisées suivant le même mouvement mais je ne sais pas si elle se referment . En bref je ne sais toujours pas si le mouvement peut se faire dans un domaine borné .

Imod  

C'est grâce à ton indication d'écrire le mouvement des pièces.

Comme l'échange vire à un dialogue avec Verdurin ( merci à lui ) , j'ai proposé Q4 au site Maths.net pour ouvrir le problème à d'autres avis , n'hésitez pas à participer ici ou là-bas

Imod

Salut,
sauf erreur j'ai trouvé une solution à Q4.

Q1=......? Merci

Un petit résumé des résultats :









On attend bien sûr la réponse de Verdurin pour Q4

Imod

Je n'ai pas calculé le rayon minimum pour Q4.
J'ai juste vérifié qu'il était possible de rester dans une région bornée.

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On part d'un hexagone régulier, les points qui ont l'air d'être des milieux en sont.
On joue
A₀A₁
B₀B₁
C₀C₁
A₁A₀
B₁B₀
C₁C₀

Le résultat est surprenant surtout avec une figure aussi simple

Cette solution n'est certainement pas extrémale mais elle existe et avec seulement 6 points ,  je n'y croyais pas .

Imod

En fait le rayon de la solution de Verdurin n'est pas si mauvais que ça . Le rayon de la pièce vérifie   alors que le rayon R du grand disque vaut

Imod

Imod, je n'y croyais pas non plus quand j'ai commencé à chercher.

Pour le rayon minimum du disque j'ai deux solutions.

Si passer entre signifie que la pièce qui bouge est entièrement  d'un côté de la droite joignant les centres de deux autres pièces et termine entièrement de l'autre côté alors je trouve un rayon minimal


Si on se contente de dire que le centre de la pièce change de côté je trouve


Mais je ne garanti ni l'optimalité, ni l'exactitude des calculs.

J'ai simplement survolé ton message car j'avais préparé une remarque à propos de ta solution .

L'idée principale est qu'on a affaire à deux "chenilles" symétriques . Il y a des conditions à respecter sur la position des points B et C par rapport aux droites (Di) mais ça reste assez souple . Globalement on peut faire varier la distance à l'axe ou l'angle formé par les deux morceaux de chenille .

Je suis presque sûr qu'on peut améliorer ton minimum

J'ai vu du coin de l'œil qu'une autre solution a été proposée sur les maths.net mais sans doute moins performante que la tienne ( avec plus de points en tout cas ).

Imod

Et maintenant j'attends ta solution
À un moment il faut faire les calculs.

Pas d'inquiétude , je ferai les calculs lorsque j'aurai repéré la meilleure position des deux chenilles . Je ne partage pas mes idées dans le but de donner le travail à faire aux autres  

Mais bon , je suis lent et très maladroit en calcul

Imod

Toujours sans calcul mais en exploitant l'idée précédente :



Il me semble qu'on fait bien mieux qu'avec l'hexagone .

Imod

Un dessin avec GeoGebra.

Un peu vexé je me suis lancé dans les calculs et je trouve un petit peu moins que toi ( je ne connais pas la précision de geogebra ) .

ce qui donne .

Imod

Après quelques erreurs j'ai abandonné le calcul.
Mon dessin est obtenu en déplaçant B₁ « à la main » sur le cercle vert.
La précision dépend donc plus de mon écran et de mes yeux que de GeoGebra.

J'explique l'origine de la formule ( au cas ou quelqu'un aurait le courage de la vérifier )  

Les points A et C sont les points A0 et C1 précédents et R désigne une racine carrée . Le calcul de x est un peu pénible mais une fois la tache accomplie , le rayon du disque tombe aisément : x+1+R(15) .

Imod

Nos messages se sont croisés

En effet il n'est pas facile d'extraire la partie intéressante de la figure avec tous les rayons et tangentes . Après les calculs ne sont pas marrant non plus

Mais il y a toujours un vrai plaisir à arriver au bout de tout ça même si parfois on s'énerve un peu

Imod