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Trois petits défis pour 2021 (1)

Posté par
perroquet
01-01-21 à 20:19

Bonjour à tous et très bonne année 2021.

Je vous propose trois petits défis autour de l'année 2021. Voici le premier.

Défi pour 2021 numéro 1


Trouver trois entiers strictement positifs a,b,c tels que:
        a<b<c
        le plus grand commun diviseur de a,b,c est égal à 2021
        a+b+c divise a^2+b^2+c^2 et a^3+b^3+c^3



On peut trouver avec un raisonnement, avec un programme ou même avec Excel.

Posté par
carpediem
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 01-01-21 à 20:47

salut

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bon je verrai plus tard ce que je peux faire de tout ça ...

Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 01-01-21 à 21:48

Questions complémentaires (elles ne font pas partie du défi):

1)  Montrer que si (a,b,c) est une solution du défi, alors, a+b+c divise a^n+b^n+c^n lorsque n est un entier naturel non nul.
(Plus généralement, si a+b+c divise a^2+b^2+c^2 et a^3+b^3+c^3, alors a+b+c divise a^n+b^n+c^n lorsque n\in\mathbb N^*).

2) Montrer que le nombre de solutions du défi est fini.

Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 01-01-21 à 21:56

@carpediem

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Posté par
LittleFox
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 02-01-21 à 03:59


Je ne vois pas pourquoi le nombre de solutions serait fini.
J'en ai trouvé plein, voici quelques exemples:

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Posté par
dpi
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 02-01-21 à 08:08

Bonjour,

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Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 02-01-21 à 08:47

@LittleFox

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@dpi

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Posté par
verdurin
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 04-01-21 à 17:28

Bonne année 2021 à tous.
Une recette pour trouver quelques triplets.

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Mais il en reste beaucoup d'autres.

Posté par
dpi
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 05-01-21 à 10:57

>verdurin
Bonjour,
Finalement un problème similaire est  proposé dans 2001 (2)
Je tourne en rond ,tu devrais essayer.

Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 05-01-21 à 14:42

@verdurin

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Posté par
verdurin
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 05-01-21 à 19:12

Oups

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Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 07-01-21 à 02:25

@verdurin

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Posté par
jandri Correcteur
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 09-01-21 à 00:01

Bonjour,

je n'ai pas dénombré toutes les solutions mais je trouve qu'il n'y a que 20 valeurs possibles pour la somme a+b+c .

J'ai trouvé que la plus grande valeur possible pour a+b+c est égale à :

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On l'obtient par exemple avec
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Posté par
jandri Correcteur
re : Trois petits défis pour 2021 (1) 10-01-21 à 09:43

Les valeurs de a et b que j'ai données juste avant conviennent pour les 20 valeurs différentes de a+b+c.

Mais le dénombrement de tous les triplets (a,b,c) est fastidieux, même dans le cas a+b+c=43\times 2021 pour lequel j'ai trouvé 133 triplets.

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