Et voici mon dernier défi.
Bonjour,
tout d'abord merci à perroquet pour ses trois défis. C'est celui-ci qui m'a donné le plus de mal, non pas pour résoudre le problème initial mais pour la résolution générale de l'équation
Je propose d'abord une solution pour le défi initial, généralisé en remplaçant la condition par .
merci pour cette démonstration pour le cas pair ... pas vraiment dure mais plutôt très astucieuse effectivement ... il faut l'avoir cette idée !
par contre je ne vois pas quelle omission ai-je commise ... dans le cas impair ?
peux-tu m'éclairer ?
Bonjour carpediem,
ta démonstration qui conduit aux cas "pair" et "impair" est incomplète, il manque un argument pour justifier le résultat :
Bonjour à tous.
jandri a brillamment résolu le défi que j'avais proposé et il est allé au-delà. Il a déterminé l'ensemble des polynômes de tels que:
On trouve les détails de sa démonstration dans son post du 11 janvier à 11h25. Cette démonstration utilise un post de carpediem du 2 janvier à 13h40.
J'avais pourtant écrit
Il y a une petite coquille dans le post précédent, "Première étape" : il faut lire "On pose " et pas
Merci à perroquet pour cette nouvelle généralisation.
Je connais au moins deux familles qui vérifient l'équation : la famille et la famille des polynômes de Tchebychev de première espèce définis par
On commence par 2 définitions.
en tout cas bravo à vous deux pour avoir résolu ce pb qui n'est vraiment pas facile et merci pour tous ces développements
PS : et quand je vois l'heure à laquelle tu as posté c'est que ça a du cogité dur !!
bon repos !!
Merci à perroquet pour ces explications et liens très intéressants (mais pour moi le lien de Eremenko ne fonctionne pas).
J'avais déjà rencontré le théorème de Block et Thielmann (même si je n'y ai pas du tout pensé en cherchant à résoudre le défi de ce fil) mais je ne connaissais pas les théorèmes de Julia et de Ritt (c'est d'un niveau élevé).
Dans l'énoncé du théorème de Julia je pense qu'il y a une coquille , c'est plutôt :
On suppose qu'il n'existe pas d'entiers strictement positifs et tels que au lieu de
Je me suis intéressé à un problème plus simple :
si (avec réel fixé), quels sont les polynômes qui vérifient ?
Pour j'ai montré dans ce fil qu'il n'y a que les polynômes ( fois).
Pour ce sont tous les .
Pour ce sont les polynômes de Tchebychev de première espèce normalisés : .
Je conjecture que pour il n'y a que les polynômes mais je ne sais pas encore le démontrer.
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