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Trois petits défis pour 2021 (3)

Posté par
perroquet
01-01-21 à 23:31

Et voici mon dernier défi.

défi pour 2021 (3)


Trouver tous les polynômes P à coefficients réels tels que:
         \forall x \in \mathbb R \ , \  P(x^2+1)=(P(x)+1)^2
         P(2021)=2020



NB: L'énoncé n'est pas original, il a déjà été proposé.

Posté par
LittleFox
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 02-01-21 à 03:23

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Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 02-01-21 à 12:06

@LittleFox

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Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 02-01-21 à 13:37

@LittleFox

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Posté par
carpediem
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 02-01-21 à 13:40

salut

il n'y a pas de solution constante ...

P(x^2 + 1) = [P(x) + 1]^2   (1)

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Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 05-01-21 à 14:59

@carpediem

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Posté par
jandri Correcteur
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 11-01-21 à 11:25

Bonjour,

tout d'abord merci à perroquet pour ses trois défis. C'est celui-ci qui m'a donné le plus de mal, non pas pour résoudre le problème initial mais pour la résolution générale de l'équation  P(X^2+1)=(P(X)+1)^2

Je propose d'abord une solution pour le défi initial, généralisé en remplaçant la condition P(2021)=2020 par \exists a\in\R\;,\; P(a)=a-1.

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Je passe à la résolution générale de l'équation  P(X^2+1)=(P(X)+1)^2\quad(*)

Tout d'abord comme l'a fait remarquer carpediem (avec une petite omission dans sa démonstration), P(X) est un polynôme pair ou bien P(X)+1 est un polynôme impair.

Le cas P(X)+1 polynôme impair se résout comme le défi initial puisque P(0)=-1 .

C'est le cas P(X) polynôme pair qui est plus difficile. J'ai trouvé une démonstration très courte mais astucieuse. La première idée donne une infinité de solutions :
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La deuxième idée prouve que l'on a obtenu toutes les solutions :
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Posté par
carpediem
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 11-01-21 à 20:26

merci pour cette démonstration pour le cas pair ... pas vraiment dure mais plutôt très astucieuse effectivement ... il faut l'avoir cette idée !

par contre je ne vois pas quelle omission ai-je commise ... dans le cas impair ?

peux-tu m'éclairer ?

Posté par
jandri Correcteur
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 11-01-21 à 21:16

Bonjour carpediem,

ta démonstration qui conduit aux cas "pair" et "impair" est incomplète, il manque un argument pour justifier le résultat :

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Posté par
carpediem
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 12-01-21 à 09:14

d'accord !! effectivement !!

merci beaucoup

Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 12-01-21 à 11:43

@jandri et carpediem

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Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 13-01-21 à 13:02

Bonjour à tous.

jandri a brillamment résolu le défi que j'avais proposé et il est allé au-delà. Il a déterminé l'ensemble des polynômes P de \mathbb R[X] tels que:
P(X^2+1)=(P(X)+1)^2
On trouve les détails de sa démonstration dans son post du 11 janvier à 11h25. Cette démonstration utilise un post de carpediem du 2 janvier à 13h40.

J'avais pourtant écrit

perroquet le 5 janvier à 14h59


Tes idées m'ont donné l'espoir de résoudre l'équation
(P(x)+1)^2 = P(x^2+1)
D'après ce que j'ai lu: en fait,  on ne sait pas la résoudre, on connaît une infinité de solutions mais pour démontrer que ce sont les seules ...


Donc, je suis retourné à ma documentation et je me suis rendu compte que je l'avais très mal lue. Et voici ce que j'aurais dû y trouver.

Comment peut-on résoudre l'équation    P(X^2+1)=(P(X)+1)^2 ?

Première étape:
On pose Q(X)=P(X)-1 et l'équation à résoudre devient:
Q(X^2+1)=Q(X)^2+1       (E)

Deuxième étape:
On trouve à cette adresse plusieurs solutions de (E). La deuxième utilise l'idée exposée par jandri.

Pour aller plus loin:
En fait, l'équation (E) peut s'écrire sous la forme     Q\circ R = R\circ Q, où R est le polynôme X^2+1.
On peut donc essayer de généraliser et se demander quels sont les couples de polynômes (Q,R) tels que    Q\circ R = R\circ Q.
Réponse à cette question dans un post ultérieur.

Posté par
jandri Correcteur
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 13-01-21 à 14:54

Il y a une petite coquille dans le post précédent, "Première étape" : il faut lire "On pose Q(X)=P(X)+1" et pas Q(X)=P(X)-1

Merci à perroquet pour cette nouvelle généralisation.
Je connais au moins deux familles qui vérifient l'équation  Q\circ R = R\circ Q : la famille X^n et la famille des polynômes de Tchebychev de première espèce définis par T_n(\cos x)= \cos(nx)

Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 17-01-21 à 03:26

On commence par 2 définitions.

Définition 1

P_1,P_2,Q_1,Q_2 sont 4 polynômes à coefficients complexes.
On dit que (P_1,P_2) est équivalent à (Q_1,Q_2) s'il existe un polynôme R=aX+b, avec a\neq 0, tel que:
P_1=R^{-1}\circ Q_1 \circ R    et     P_2=R^{-1}\circ Q_2 \circ R

NB  R^{-1} = \dfrac{1}{a}X-\dfrac{b}{a}    (inverse de R pour la composition des polynômes)


Définition 2:

On appelle polynôme de Tchebychev de première espèce de degré n l'unique polynôme T_n tel que:
\forall x \in \mathbb R _ , \ T_n(\cos x)=\cos(nx)


Si P est un polynôme et si n est un entier naturel, on notera P^{(n)} le n-ième itéré de P pour la loi de composition des applications:
P^{(1)} = P \ , \ P^{(2)}= P\circ P \ , \ P^{(3)} = P\circ P \circ P \ , \ \ldots

Julia a établi en 1922 le théorème suivant :  
théorème de Julia

P et Q sont 2 polynômes à coefficients complexes, de degré supérieur ou égal à 2.
On suppose qu'il n'existe pas d'entiers strictement positifs m et n tels que   P^{(m)} \neq Q^{(n)}.
Alors, P\circ Q = Q\circ P si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est réalisée:

1)   (P,Q) est équivalent à (X^n,\alpha X^m)   avec   \alpha^{n-1}= 1

2)   (P,Q) est équivalent à (T_n,T_m) ou (-T_{2n},-T_{2m}) ou (-T_{2n+1},-T_{2m+1}) ou (-T_n,T_{2m+1})


Cependant, s'il existe m>0 et n>0 tels que P^{(m)}= Q^{(n)}, cela n'implique pas que P\circ Q = Q\circ P.
On peut prendre par exemple P(x)=x^2 et Q(x)={\rm j}x^2 avec j=\exp\left( \dfrac{2{\rm i}\pi}{3}\right)
On vérifie que    P^{(2)}=Q^{(2)}  et que    P\circ Q \neq Q\circ P

En 1923, Ritt améliore le résultat de Julia:   .
Théorème de Ritt

On suppose que P,Q sont deux polynômes de degré supérieur ou égal à 2 qui ne vérifient aucune des deux propriétés du théorème de Julia.
Alors, P\circ Q = Q\circ P si et seulement si (P,Q) est équivalent à (\varepsilon_1R^{(\mu)},\varepsilon_2R^{(\nu)}) où:
                        r est un entier strictement positif,  S est un polynôme
                        R=XS(X^r)
                        \varepsilon_1^r=\varepsilon_2^r=1  (éléments de \mathbb C)
                        \mu,\nu sont deux entiers strictement positifs


Les deux démonstrations sont longues et difficiles (je n'ai pas le niveau suffisant pour les suivre).

Elles utilisent des outils d'analyse pour obtenir un résultat algébrique. Depuis 100 ans, on cherche à démontrer le résultat uniquement avec des outils algébriques. Cela ne semble pas avoir été trouvé jusqu'ici.

Il y a cependant quelques avancées. En particulier, on sait déterminer "élémentairement" les polynômes commutant avec un polynôme de degré 2 donné (comme l'a fait jandri un peu plus haut).

Un joli résultat est le théorème de Block et Thielmann, qui est démontré dans le sujet de Centrale 2014 MP 2  
théorème de Block et Thieman (1951)

On dit qu'une famille (P_n)_{n\in\mathbb N*} de \mathbb C[X] est une suite commutante si:
\forall n \in \mathbb N^{\star} \ , \ {\rm deg}(P_n)=n      et      \forall (m,n)\in \mathbb (N^{\star})^2 \ , \ P_m\circ P_n=P_n\circ P_m

Les seules suites commutantes sont:

1)  Les familles U^{-1}\circ X^n\circ U,   avec   U=aX+b    et  a\neq 0

2)  Les familles U^{-1}\circ T_n\circ U,   avec   U=aX+b    et  a\neq 0


Je pense que jandri faisait allusion à ce théorème dans le post qui précède celui-ci.

Cet article  de recherche     m'a beaucoup aidé pour écrire ce qui précède .

Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 17-01-21 à 03:39

Encore deux articles sur la question:

Si deux polynômes commutent, alors, ils ont même ensemble de Julia.
Si deux polynômes ont même ensemble de Julia, alors ... la réponse est ici .

Sans Eremenko, j'aurais écrit de grosses bêtises ...  

Posté par
carpediem
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 17-01-21 à 10:15

en tout cas bravo à vous deux pour avoir résolu ce pb qui n'est vraiment pas facile et merci pour tous ces développements



PS : et quand je vois l'heure à laquelle tu as posté c'est que ça a du cogité dur !!

bon repos !!

Posté par
perroquet
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 17-01-21 à 11:42

carpediem a écrit:

PS : et quand je vois l'heure à laquelle tu as posté c'est que ça a du cogité dur !!


Je confirme

Posté par
jandri Correcteur
re : Trois petits défis pour 2021 (3) 17-01-21 à 23:05

Merci à perroquet pour ces explications et liens très intéressants (mais pour moi le lien de Eremenko ne fonctionne pas).
J'avais déjà rencontré le théorème de Block et Thielmann (même si je n'y ai pas du tout pensé en cherchant à résoudre le défi de ce fil) mais je ne connaissais pas les théorèmes de Julia et de Ritt (c'est d'un niveau élevé).

Dans l'énoncé du théorème de Julia je pense qu'il y a une coquille , c'est plutôt :
On suppose qu'il n'existe pas d'entiers strictement positifs m et n tels que P^{(m)} = Q^{(n)} au lieu de P^{(m)} \neq Q^{(n)}

Je me suis intéressé à un problème plus simple :
si P=X^2+a (avec aréel fixé), quels sont les polynômes Q qui vérifient P\circ Q=Q\circ P ?

Pour a=1 j'ai montré dans ce fil qu'il n'y a que les polynômes Q=P^{(n)}=P\circ\dots\circ P (n fois).
Pour a=0 ce sont tous les X^n.
Pour a=-2 ce sont les polynômes de Tchebychev de première espèce normalisés : P_n(2\cos x)=2\cos(nx).

Je conjecture que pour a\notin\{-2,0\} il n'y a que les polynômes Q=P^{(n)} mais je ne sais pas encore le démontrer.



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