Une précision : il y en a toujours une au moins qui est inférieure à .

Bonjour Elisabeth
Il fait frais, mais beau à Bordeaux...

 Cliquez pour afficher

u, v et w doivent être distincts car s'ils sont tous les 3 égaux à 1/2, l'inégalité stricte n'est pas vérifiée.

Bonjour à vous deux,
A Gap aussi il fait plutôt beau et moins chaud que ces dernières semaines

 Cliquez pour afficher

En posant u - 1/2 = a , v - 1/2 = b , w - 1/2 = c on a a ,b et c dans [-1/2 ; 1/2] .
On peut supposer a b c .

u(1-v) = 1/4 + (1/2)(a-b) - (1/2)ab . Ne peut être supérieur à 1/4 que si ab <0 qui entraine a < 0 < b .
D'où b et c positifs.

v(1-w) = 1/4 + (1/2)(b-c) - (1/2)bc est alors inférieur à 1/4 .

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

un contre exemple:u = v = w = 1/2

Bon dimanche Alainpaul,

 Cliquez pour afficher

Oui, sanantonio312 l'a vu aussi (pas moi ). Remplacer "inférieur à 1/4" par "inférieur ou égal à 1/4" suffit sans doute.

Je reviens de ma promenade dominicale , et constate quelle étourdie je suis ...
Merci Sylvieg et sanantonio312 d'avoir rectifié

Bon retour de promenade Elisabeth67.
Il faudrait écrire la rectification non blankée en choisissant entre "réels distincts" ou "inférieur ou égal à 1/4" .

Bonsoir,

 Cliquez pour afficher

Le triplet candidat {u,v,w} peut être représenté dans l'intervalle
sans perte de généralité ainsi que
                            

Nous pouvons effectuer les produits :v(1-v) a une valeur maximale 1/4 ...

Bonjour,


Je précise ma démarche:une condition nécessaire pour que les trois produits > 1/4,
elle n'est pas suffisante,


Alain

Pour clore l'exercice , je propose cette démonstration par l'absurde :

 Cliquez pour afficher

Supposons qu'aucun des nombres u(1-v) , v(1-w) et w(1-u) ne soit inférieur ou égal à 1/4 .

Alors le produit P = u(1-v)* v(1-w)* w(1-u) est supérieur à 1/64

Or P peut aussi s'écrire
P = u(1-u)* v(1-v)* w(1-w)

Le facteur u(1-u) est égal à u - u² , ou encore à 1/4 - (u-1/2)² , valeur inférieure ou égale à 1/4
De même pour v(1-v) et w(1-w)

Ainsi , on montre que P 1/64 , en contradiction avec la supposition de départ .

Bonsoir,

 Cliquez pour afficher

Ma solution est voisine, mais cette dernière me semble la plus simple,