Bonjour

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1) On a   ; et

Si alors et d'après la 3e inégalité, et .



Donc la 2e équation du système n'est pas satisfaite.

Par conséquent .

2) Supposons que la borne soit atteinte. C-à-d , et .

On sait que .

En examinant tous les cas possibles où , et sont égaux à 1 ou -1, on constate que dans tous les cas, les équations ne sont pas satisfaites simultanément.

Par conséquent, la borne n'est pas atteignable.

Donc qu'elle n'est pas optimale, car elle ne peut pas être satisfaite pour les valeurs de , et qui satisfont les autres conditions données.

Bonsoir matheux14, pourquoi a > 1 selon ton raisonnement ?

Bonjour,
Peut-être qu'en trouvant une solution nos experts pourront trouver
un raisonnement valable

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je propose:
x=-1;y=-1;z=3---------->x+y+z=1

x³=-1 ; y³=-1;  z³=27 --->x³+y³+z³=25

Bonjour,

une autre solution

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Bonjour,
Je n'ai rien trouvé d'extraordinaire ; mais sait-on jamais, ça peut aider...

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Les réels a, b et c vérifient une de ces deux inégalités :
x < 1 ou x 3.
Mais les réels a, b et c ne vérifient pas tous les trois la même inégalité.
D'où les deux cas ci-dessous.
1er cas : Deux d'entre eux vérifient x 3 et le troisième vérifie x <1.
2nd cas : Deux d'entre eux vérifient x < 1 et le troisième vérifie x 3.

Deux autres solutions au système

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, ,

, ,

suite et fin (je m'y suis probablement très mal pris)

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en repartant de mon message du 17/07 à 19h45

de -8 = (1-a)(bc+a) on peut en déduire que



en multipliant l'équation a + b + c = 1 par c disons, on trouve après simplification



le discriminant de cette équation quadratique en c est égal à



puisque l'on veut c réel, il doit être positif ou nul ce qui implique en particulier a < 1 ou a 3. En supposant ceci, on trouve



et en repartant avec l'équation a+b+c = 1 multipliée cette fois-ci par b, on trouve de même



ce qui veut dire que b et c sont égaux ou alors ont signe opposé devant le facteur radical ci-dessus. Le cas b = c est exclu sans quoi la première équation donne a = 1 que l'on a déjà éliminé des possibilités auparavant.

Maintenant une étude de la valeur absolue de b et c (en fonction de a) révèle que la condition |a| |b| |c| est vérifiée seulement lorsque |a| 1.

On a aussi toutes les solutions ci-dessus

pour être plus précis :

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les solutions réelles existent lorsque et dans ce cas (quitte à permuter les lettres b et c) :

Bonjour,

matheux14

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excès de vitesse

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Oui pour la solution entière avant l'arrivée des experts

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Oui pour les nouvelles solutions

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Approche correcte ! Je vois que tu as même complètement résolu le système

Une solution (économique) du problème

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Pour bénéficier du rôle symétrique des inconnues je considère dans le système

dont est une solution évidente (ou presque ).

On a alors pour toute solution :



et donc :



et donc :

(qui s'écrit aussi )

Les trois réels , et ne peuvent pas être tous positifs vu la contrainte .

ils ne peuvent pas non plus être tous négatifs.

il y en a donc exactement deux négatifs.

On peut supposer (bénéfice de la symétrie )

Si aucun des deux réels et n'était de valeur absolue inférieure ou égale à ,

on aurait et et par suite

et donc , et ce qui contredirait l'encadré rouge

Merci beaucoup pour cette solution et ce petit exercice elhor_abdelali (sans grande surprise, je préfère ta résolution à la mienne !).

bonne journée

Bonsoir,
Jolie l'égalité rouge elhor_abdelali !
On peut aussi en déduire que le seul triplet d'entiers relatifs solution est, à une permutation près, la solution presque évidente

Oui Sylvieg il semble que c'est le seul triplet d'entiers relatifs solution (à permutation près) (sauf erreur de ma part bien entendu )

Merci à toi Rintaro

Je me fais plaisir en donnant l'ébauche de la démonstration pour les triplets d'entiers :

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On suppose (a-1)(b-1)(c-1) = 8 et a+b+c =1 avec a, b et c entiers relatifs.
A = a-1 = 2^m , B = b-1 = 2ⁿ et C = c-1 = 2^p avec m, n et p entiers naturels.
On a m+n+p = 3 et A+B+C = -2 .
On peut supposer m n p .
m = 0 ou m =1.
Si m = 0 alors n = 0 ou 1 .
Si m = 1 alors n = p =1 .

Oui Sylvieg !

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Et on peut (par symétrie) se contenter d'étudier le cas

sous les conditions

qui admet (en utilisant l'unicité de la décomposition en base )

une solution unique et donc _{sauf erreur de ma part bien entendu}