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trouve le polynôme minimal

Posté par
Louistomtom 11-06-23 à 18:21

Bonjour,

Je cherche à obtenir le polynôme minimal de cos(2\cdot\pi/5)
Wolfram alpha me dit que c'est:

4\cdot x^2+2\cdot x-1

Mais comment l'obtenir?
Y a t-il une méthode générale?

Merci d'avance!

Posté par
verdurinre : trouve le polynôme minimal 11-06-23 à 19:16

Bonsoir,
il n'y a pas de méthode générale : en général \cos\alpha est transcendant.

Pour \cos(2\pi/5) on a 1+2\cos(2\pi/5)+2\cos(4\pi/5)=0 et on exprime \cos(4\pi/5) en fonction de \cos(2\pi/5).

Posté par
Louistomtomre : trouve le polynôme minimal 11-06-23 à 19:19

Bonsoir,

Merci beaucoup!
Mais cette expression vous est venue comment? Simple intuition?

Merci encore!

Posté par
carpediemre : trouve le polynôme minimal 11-06-23 à 19:19

salut

posons t = \dfrac {2\pi} 5 $ et $ w = e^{it}

alors w^5 = 1 \iff (\cos t + i \sin t)^5 = 1

on développe et on bricole tout ça ...

Posté par
Louistomtomre : trouve le polynôme minimal 11-06-23 à 19:22

Bonsoir @carpediem,

Je n'ai pas pensé à chercher les racines de l'unité!
Merci!

Posté par
carpediemre : trouve le polynôme minimal 11-06-23 à 19:30

de rien ...

j'ai été un peu lent par rapport à verdurin mais son polynome provient de ma réponse et de factorisation ou identités trigo convenables

Posté par
Louistomtomre : trouve le polynôme minimal 11-06-23 à 19:32

Mais dans ce cas c'est abominablement long!? non? à moins que je sois vraiment à ce point rouillé (ou feignant!)

Posté par
carpediemre : trouve le polynôme minimal 11-06-23 à 19:46

ha ben oui c'est un peu (beaucoup) calculatoire !!

mais c'est un exo qu'on trouve dans certain livres de terminales ...

Posté par
Louistomtomre : trouve le polynôme minimal 11-06-23 à 19:48

Bon ok je m'y mets alors, merci encore à vous deux!
À bientôt,

Posté par
verdurinre : trouve le polynôme minimal 11-06-23 à 20:24

Louistomtom @ 11-06-2023 à 19:19


Mais cette expression vous est venue comment? Simple intuition?

L'isobarycentre d'un polygone régulier inscrit  dans le cercle trigonométrique est (0;0).

Posté par
Louistomtomre : trouve le polynôme minimal 12-06-23 à 07:53

Merci @verdurin mais je ne fais pas la différence entre l'isobarycentre du barycentre... Sinon merci ça me semble déjà nettement moins calculatoire!

Posté par
jsvdbre : trouve le polynôme minimal 12-06-23 à 11:59

A partir du moment où tu as le préfixe "iso", il y a une égalité quelque part. En l'occurrence, un isobarycentre est un barycentre avec des coefficients égaux.
Isométrie : qui conserve les distances
Isobar : à pression constante
Isocarène : Se dit de volumes de carène égaux mais de formes différentes.
Isosetoutcékomçakonlérekonai : petite blague Audiardesque à humeur constante


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