Niveau autre

Trouver 2 valeurs à partir de leur somme et de leur produit

Posté par maryjane (invité) 06-12-06 à 03:01

Bonjour!

Voilà j'ai trouvé cette équation qui est apparemment niveau lycée, mais j'ai quitté celui-ci il y a quelques années déjà, et j'étais en Littéraire donc j'ai vraiment du mal. lol
a $\times$ b=84;
a+b=19
Après avoir manipulé les chiffres dans tous les sens, (en essayant de ma rapeller de mes cours du lycée), je suis arrivée à des équations telles que b= $\frac{84}{19-b}$ , ou
84=(19-b) $\times$ (19-a)...
Mais rien de vraiment concluant...
J'ai l'impression que la solution est évidente mais je n'arrive pas à la voir...

(Ce que j'aimerais pouvoir faire c'est créer un petit programme java (que je suis en train d'apprendre) pour calculer deux valeurs d'après leur somme et leur produit, entrés par l'utilisateur... héhé...)

Je vais continuer à y travailler, consulter des "fiches de maths" peut-être, mais je ne suis pas convaincue d'y arriver... Donc avis à tous, j'ai besoin d'aide !

Merci beaucoup

édit Océane : niveau renseigné

Posté par re : Trouver 2 valeurs à partir de leur somme et de leur produit 06-12-06 à 03:24

Bonjour,

Première méthode :
de la première équation, on tire b = 84/a (on sait que a=0 ne convient pas, donc a ne peut pas être nul).
On reporte dans la 2ème : a + 84/a = 19
On multiplie les 2 membres par a : on aboutit à une équation du second degré en a.
On résout, et on obtient deux valeurs possibles pour a.
Puis la valeur correspondante de b.

Deuxième méthode :
Les solutions de :
{ x*y = P
{ x+y = S
sont les solutions (éventuelles) de l'équation du 2nd degré x² - Sx + P = 0

Nicolas

Posté par re : Trouver 2 valeurs à partir de leur somme et de leur produit 06-12-06 à 08:48

ab=84;
a+b=19

b = 84/a

a + (84/a) = 19
On multilie les 2 membres par a (qu'on sait différent de 0,car ab = 84) -->
a² + 54 = 19a

a² - 19a + 54 = 0

Equation du second degré en a qu'on peut résoudre par la méthode du discriminant (Delta) ou bien en passant par la forme canonique, voici comment:

a² - 19a + 54 = 0
Se rappeler de l'identité remarquable: (A-B)² = A² - 2AB + B²

(a - (19/2))² - (19/2)² + 54 = 0
(a - (19/2))² - (361/4) + (216/4)= 0
(a - (19/2))² - (361/4) + (216/4)= 0
(a - (19/2))² - (145/4) = 0
(a - (19/2))² = (145/4)

Comme les 2 membres sont positif, on en extrait les racines carrées.
(ATTENTION: ne pas oublier le +/-)

a - (19/2) = +/- (1/2).V145  (Avec V pour racine carrée)

a = 19/2 +/- (1/2).V145

a = (19 +/- V145)/2

Il y a donc 2 valeurs possibles pour a:
a = (19 - V145)/2 et a = (19 + V145)/2

Si a = (19 - V145)/2, alors b = 19 - a = 19 -  (19 - V145)/2 = (19 + V145)/2
Si a = (19 + V145)/2, alors b = 19 - a = 19 -  (19 + V145)/2 = (19 - V145)/2

Il y a deux couples (a , b) solutions, ce sont les couples ((19 - V145)/2 ; (19 + V145)/2) et ((19 + V145)/2 ; (19 - V145)/2)
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Méthode du discriminant:

a² - 19a + 54 = 0

Delta = 19² - 4*54 = 145

a = (19 +/- V145)/2
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Explications:

Soit une équation du second degré en x:
Ax² + Bx + C = 0

Delta = B² - 4AC

Si Delta < 0, il n'y a pas de solution réelle à l'équation.
Si Delta = 0, il y un solution double à l'éuation, cette solution est x = -B/2A
Si Delta > 0, il y a 2 solutions distinctes à l'équation:
x1 = (-B - V(Delta))/2
et
x2= (-B +V(Delta))/2
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Sauf distraction.

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Sauf distraction.

Posté par re : Trouver 2 valeurs à partir de leur somme et de leur produit 06-12-06 à 08:50

ATTENTION

Par distraction, le 84 de l'énoncé s'est transformé en 54 dans une partie de mes réponses.

Corriger en conséquence.

Posté par maryjane (invité)merki

06-12-06 à 17:36

Merci beaucoup pour vos réponses, ça a été rapide!
Je dois avouer cependant que la première réponse n'a pas beaucoup aidé la non-mathématicienne que je suis , mais au final j'ai eu ce que je voulais. Je vais bien m'amuser avec ça...
Merci beaucoup (pour Nicolas xiexie)