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Niveau énigmes
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trouver la distance ?

Posté par
Glapion Moderateur
01-05-21 à 13:36

Bonjour, un petit problème pas si facile parce qu'on a l'impression qu'il est indéterminé.

On a une serre modélisé par un demi cercle et 3 échelles :
trouver la distance ?

l'une des échelles fait 9 m et l'autre posée de l'autre coté fait 16 m. et pour la troisième, on ne sait pas, mais elle est posée sur la serre (donc tangente). Par contre comme on le voit sur le dessin, on constate que les 3 échelles se raccordent parfaitement, on sait aussi que AO = OD, O étant le centre du cercle.

La question est d'en déduire la distance AD ?

Posté par
Imod
re : trouver la distance ? 01-05-21 à 14:20

Bonjour

Je ne réponds pas car j'ai déjà cherché l'exercice il y a quelque temps

Un point de départ : prolonger les côtés [AB] et [CD] .

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trouver la distance ? 01-05-21 à 16:43

Bonjour,
Intéressant
J'avais pensé à prolonger les côtés ; mais, pour le moment, je sèche...

Posté par
Imod
re : trouver la distance ? 01-05-21 à 16:50

Je ne voudrais pas spoiler l'exercice .

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Imod

Posté par
dpi
re : trouver la distance ? 01-05-21 à 18:30

Bonjour,
On aime bien ce genre...

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Posté par
mathafou Moderateur
re : trouver la distance ? 02-05-21 à 09:15

Bonjour,

avec la méthode "de l'entourloupette" :

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Posté par
dpi
re : trouver la distance ? 02-05-21 à 10:16

On sait qu'une échelle à besoin d'un "pied" pour tenir ...donc d'un angle...
Mais après tout la troisième tient toute seule dans l'énoncé  donc pourquoi pas?
Donc  adieu le sommet AB CD  proposé par Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : trouver la distance ? 02-05-21 à 10:36

meuh .. même s'il ne sert pas il sert quand même (à faire une figure de principe)

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Posté par
Glapion Moderateur
re : trouver la distance ? 02-05-21 à 11:15

Bien vu mathafou l'entourloupette qui permet d'aboutir vite au résultat

Je vous mets le lien vers une vidéo qui donne une solution
(assez compliquée quand même avec son utilisation de tan(a+b) mais une belle simulation à la fin qui montre que AD reste fixe quand le reste bouge) :

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trouver la distance ? 02-05-21 à 11:17

Merci mathafou pour la figure

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Deux remarques :
Difficile de voir AB = 9 et CD = 16 dans ta figure où CD < AB \;
Imod pensait sans doute à une autre démonstration utilisant le point S.

Posté par
mathafou Moderateur
re : trouver la distance ? 02-05-21 à 11:26

ma dernière figure est faite avec des valeurs arbitraires (et même B déplaçable)
"figure de principe" disais-je

Posté par
matheuxmatou
re : trouver la distance ? 02-05-21 à 11:32

bonjour

On peut toujours compter sur mathafou pour de belles solutions géométriques

Je n'étais pas loin avec tous ces angles et triangles semblables, mais je n'aboutissais pas !

J'avais bien trouvé AD = 24 et l'indépendance par rapport au rayon du cercle par une horrible méthode calculatoire... mais ça ne me plaisait qu'à moitié... voire pas du tout !

en tout cas, merci pour ce joli problème et pour les figures

mm

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trouver la distance ? 02-05-21 à 11:40

Citation :
Je n'étais pas loin avec tous ces angles et triangles semblables, mais je n'aboutissais pas !
Idem pour moi

Citation :
horrible méthode calculatoire
Celle de la vidéo n'est pas mal non plus dans le genre

@mathafou,
Ta figure m'a décoincée. Preuve de son utilité

Posté par
Imod
re : trouver la distance ? 02-05-21 à 12:36

Les calculs sont très simples quand on a vu que les angles AOB et OCD sont égaux mais encore faut-il le voir

L'entourloupette de Mathafou , n'est bien sûr qu'un clin d'oeil

Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : trouver la distance ? 02-05-21 à 12:49

des "entourloupettes" comme ça il y en a plein dans les "énigmes" classiques
par exemple

une boule de bois est percée d'un trou cylindrique de part en part
la hauteur du trou est 8cm
quel est le volume de bois restant ?
solution :

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Posté par
dpi
re : trouver la distance ? 03-05-21 à 08:55

Bonjour,
Pour mémoire

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Posté par
Imod
re : trouver la distance ? 03-05-21 à 18:38

J'ai regardé la vidéo , c'est vraiment du lourd , il y a tellement plus joli

Imod

Posté par
dpi
re : trouver la distance ? 05-05-21 à 07:39

Bonjour,
Oui le plus  court:
En partant de la remarque sur l'énoncé de mathafou.
BC =25    (tangentes concourantes)
Triangle rectangle BCB'    (B'  projection de B sur DC.

AD =(25²-9²) =24

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : trouver la distance ? 05-05-21 à 09:23

Sauf que ce n'est pas une "vraie" démonstration.
Mais elle permet une généralisation rapide :
Avec AB = b et DC = c, on trouve \; AD = 2(bc) .

Une vraie démonstration moins calculatoire peut se faire avec les triangles semblables indiqués sur la (edit : 1ère) figure de mathafou.

Posté par
Imod
re : trouver la distance ? 05-05-21 à 18:47

Edit de l'Edit : il me semble que c'était la deuxième figure de Mathafou

Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : trouver la distance ? 05-05-21 à 19:02

exact !



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