Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite

Posté par
ccu
15-10-20 à 00:36

Bonjour,

Premiers pas sur ce forum. Je suis parent d"élève qui s'efforce avec difficulté d'aider sa fille (1ere S).

Les cinq premiers termes d'une suite sont donnés: u1 = 3,  u2 = 9, u3 = 18, u4=30 et u5 = 45.

Il faut établir la relation de récurrence entre un et un+1, puis exprimer explicitement Un en fonction de n.

Tout d'abord, cette suite ne semble ni arithmétique ni géométrique. Mais  purement par observation, je vois que:

un+1 = un + nu1 = un + 3n

Je fais cela sans aucune méthode: j'ai simplement observé les différences entre chaque paire de termes (6, 3, 12 et 15 soit nu1 à chaque fois). Je ne sais pas ce que cela vaut et si c'est bien la relation de récurrence recherchée.

En ce qui concerne le deuxième pas - l'expression explicite - je n'ai aucune idée de la marche à suivre. Mais j'ai observé que les différences des différences (il doit y avoir une meilleure expression pour les décrire) était statique. Ne trouvant aucune autre piste, j'ai trouvé deux références sur des sites anglo-saxons à une formule permettant de déterminer une forme explicite quand les différences sont statiques/ quand elles sont statiques au "deuxième degré", cette formule est:

a + (n-1)d + 1/2 (n-1)(n-2) c

avec a étant le premier terme (donc ui ici, soit 3), d étant la différence (premier degré) entre les deux premier termes, soit 6 ici et d étant la différence statique, donc du deuxième degré ici, soit 3.

En développant, je trouve que un = (3(n2+ n))/2

Et effectivement, cela fonctionne parfaitement: je retrouve bien tous mes termes. Mais ces sites anglo-saxons ne m'apportent aucune explication quant à la dérivation de cette formule, dans quel contexte elle est employée et, si elle constitue une règle (bien utile) pour les suites, pourquoi je n'en trouve aucune trace dans le manuel de maths ou dans le traitement des suites sur d'autres supports.

Est-il utile d'en savoir plus sur cette formule (j'avoue que je suis curieux et que je voudrais comprendre) et, sachant qu'il est difficile de l'utiliser pour aider ma fille puisqu'elle n'est pas mentionnée dans ses cours, quelle autre méthode puis-je essayer pour détermine la forme explicite?

Désolé, c'était un peu long. Merci beaucoup pour vos conseils, tuyaux et explications.

Posté par
Zormuche
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 01:04

Bonsoir

De la relation de récurrence :  U_{n+1}=U_n+3n

On peut déduire  U_n = U_1+(3+6+9+\dots+3(n-1)) = U_1+3(1+2+\dots + (n-1))

Il se trouve qu'on a une formule, qu'il est utile de connaître par coeur, pour la somme des  n   premiers consécutifs :
1+2+\dots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}

et donc

1+2+\dots+(n-1) = \dfrac{(n-1)n}{2}

et on peut retrouver la formule que tu as trouvée

Posté par
Zormuche
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 01:06

ça m'a un peu amusée quand tu as dit "la différence des différences est statique", c'est très compréhensible d'un point de vue mathématique, et on peut même faire un lien avec les fonctions et leurs dérivées
quand la dérivée de la dérivée d'une fonction est statique (constante) non nulle, la fonction en question est un polynôme de degré 2 (donc "au carré")

comme ici, tu as trouvé une formule en n au carré, le lien est assez logique et amusant

Posté par
Zormuche
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 01:07

Zormuche @ 15-10-2020 à 01:06

ça m'a un peu amusée ...


amusé*

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 01:34

Merci beaucoup Zormuche, d'avoir répondu et pris le temps de me donner des explications, et merci d'être aussi insomniaque que moi (si tu postes d'Europe), ce qui va me permettre d'y passer la nuit.

J'avais bien vu la formule des n premiers termes consécutifs dans le manuel de ma fille et j'en ai de vagues souvenirs de mon master (pas en maths tu t'en doutes) il y a de ça plusieurs décennies, mais je n'aurais jamais pensé à l'appliquer en développant l'expression récurrente.

Merci enfin de faire le lien avec mes intuitions naïves: je me sens un peu moins bête, super bien accueilli sur ce forum et encouragé à continuer et approfondir.

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 02:13

Lu et relu. Je comprends bien ta dérivation mais je ne retombe pas sur ma formule. J'essaye à nouveau demain matin à tête reposée avec ce qui reste de nuit.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 09:51

Bonjour,
Il me semble que la relation \; un+1 = un + 3n \; ne convient pas.
En l'appliquant pour n = 1, on obtient \; u2 = u1 + 3 = 6

Posté par
alb12
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 10:21

salut,
"Il faut établir la relation de récurrence entre u(n) et u(n+1), puis exprimer explicitement Un en fonction de n."
je ne vois pas comment la donnee des 5 premiers termes d'une suite permet de trouver une relation de recurrence valable pour tout n.
C'est vraiment la seule donnee de cet exercice ?

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 10:22

Sylvieg

Sylvieg @ 15-10-2020 à 09:51

Bonjour,
Il me semble que la relation \; un+1 = un + 3n \; ne convient pas.
En l'appliquant pour n = 1, on obtient \; u2 = u1 + 3 = 6


Vous oubliez n dans l'équation. En le prenant en compte, l'expression fonctionne bien.

Posté par
alb12
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 10:24

c'est u(n+1)=u(n)+3*(n+1)

Posté par
ciocciu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 10:31

sylvieg n'étant plus là je me permets de reprendre

bonjour
effectivement votre relation de récurrence ne convient pas
un+1=un+3n
si on veut calculer u2 on remplace n par 1 ça fait
u1+1=u1+3 donc u2=3+3=6
donc y'a un os

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 10:49

Je suis de retour
Tout à fait d'accord avec alb12 :
Tel que reproduit l'énoncé n'a pas de sens.
C'est en cherchant une autre relation de récurrence qui puisse aussi convenir que j'ai mis le doigt sur l'erreur dans le premier message de ccu.

Pour enfoncer le clou encore plus que ciocciu :
Si on avait \; un+1=un+3n ,
en remplaçant n par 1, on obtiendrait :
u1+1=u1+31 ; donc u2=3+3=6

Posté par
ciocciu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 10:56

je vous laisse...bye

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 11:32

Zormuche @ 15-10-2020 à 01:04



et on peut retrouver la formule que tu as trouvée


Je suis désolé, mais je n'arrive pas à retrouver ma formule (qui donne bien les résultats de un escomptés.

Pour résumer ta démonstration, tu passes de la formule récurrente à une expressions qui part de u1, puis tu factorises par 3 pour isoler à l'intérieur de la parenthèse suivante une série de termes consécutifs qui va pouvoir être simplifier grâce à la formule de la somme des n premiers termes consécutifs. Mais cette dernière allant jusqu'à n alors que notre somme dans la parenthèse  ne va que jusqu'à (n-1), tu ajustes la formule de la somme des premiers termes consécutifs en conséquence.

Donc, si je fais la synthèse de ta démo:

un = u1 + 3((n-1)n)/2) sachant que u1 = 3

En remplaçant n par 4 dans la formule, un = 3 + 3((3x4)/2) = 3+ 18 = 21 alors que "ma" formule donne 30, ce qui est correct.

Donc je dois me planter dans ma lecture de ta formule ou sauter un pas, mais je n'arrive pas à voir où.

Merci pour tes commentaires.

Posté par
Zormuche
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 11:36

Ma formule est fausse puisque je m'étais basé sur ta relation de récurrence qui était fausse
Pour le bien de la simplicité je propose de rajouter le terme u(0)=0 à ta suite
On a donc bien la relation u(n+1)=u(n)+3(n+1) comme ont dit les autres intervenants

Et u(n) = u(0)+3+6+9+...+3n = 3(1+...+n) = 3n(n+1)/2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 11:57

Pour ne pas polluer ce topic, je vais sans doute en créer un, dans le forum détente, pour trouver d'autres relations.

@ccu,
"Il faut établir la relation de récurrence"
Peux-tu recopier mot à mot la question posée ainsi que tout ce qui la précède ?

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 12:00

merci à tous. Les réponses ont mis du temps à s'afficher. Je vais tout lire en détail.

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 12:14

Sylvieg @ 15-10-2020 à 10:49

Je suis de retour
Tout à fait d'accord avec alb12 :
Tel que reproduit l'énoncé n'a pas de sens.
C'est en cherchant une autre relation de récurrence qui puisse aussi convenir que j'ai mis le doigt sur l'erreur dans le premier message de ccu.

Pour enfoncer le clou encore plus que ciocciu :
Si on avait \; un+1=un+3n ,
en remplaçant n par 1, on obtiendrait :
u1+1=u1+31 ; donc u2=3+3=6


Merci beaucoup Sylvieg, alb12 et ciocciu: vos messages ne sse sont pas affichés dans l'ordre d'intervention et je n'avais vu que les premiers messages de Sylvieg et Zormuche.

Effectivement, je me suis basé sur les différences entre chaque terme pour établir la formule de récurrence et j'ai oublié de décaler. J'ai beau être âgé, je suis un novice et heureusement que je me suis inscrit sur ce forum avant d'aider ma fille. Je ne lui aurais pas rendu service autrement.

Je n'ai pas plus dénoncé pour l'instant mais je vous dit si je trouve un complément d'information.

Encore un grand merci pour votre patience et gentillesse. Je reprends la démonstration de Zormuche avec la bonne formule de récurrence.

Posté par
alb12
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 12:41

voir ici une recherche sur cette "courte" suite

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 13:20

alb12 @ 15-10-2020 à 12:41

voir ici une recherche sur cette "courte" suite


Cette ressource est incroyable. Merci alb12.

Cela confirme aussi que la formule liée aux différences de plusieurs degrés en chaque terme donne le bon résultat (cette formule varie selon le degré de "différentiation" nécessaire pour que la différence soit statique). Mais je n'ai trouvé aucune explication autre que la formule. Pas sa dérivation, pas de contexte. Et il semble que les quelques endroits où j'ai vu cette formule soient uniquement anglo-saxons. Je e sais pas pourquoi.

C'est du luxe par rapport à mon problème de base, qui est que j'ai tout à (ré)apprendre, mais si quelqu'un  peut ajouter un contexte et/ou une explication, je prends.

Pour rappel, la formule glanée par hasard est:

a + (n-1)d + 1/2 (n-1)(n-2) c

avec a étant le premier terme (donc ui ici, soit 3), d étant la différence (premier degré) entre les deux premier termes, soit 6 ici et d étant la différence statique, donc du deuxième degré ici, soit 3.

Merci à tous

Posté par
alb12
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 13:27

"Cette ressource est incroyable" c'est un must

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 13:46

Moi aussi j'étais aller voir là

Posté par
carpediem
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 14:01

salut

ccu @ 15-10-2020 à 13:20

C'est du luxe par rapport à mon problème de base, qui est que j'ai tout à (ré)apprendre, mais si quelqu'un  peut ajouter un contexte et/ou une explication, je prends.


c'est un classique qui traduit la construction de châteaux de cartes ou d'allumettes (formant des triangles équilatéraux) ... et qui est montré dans le lien de alb12 ...

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 18:08

carpediem @ 15-10-2020 à 14:01

salut

ccu @ 15-10-2020 à 13:20

C'est du luxe par rapport à mon problème de base, qui est que j'ai tout à (ré)apprendre, mais si quelqu'un  peut ajouter un contexte et/ou une explication, je prends.


c'est un classique qui traduit la construction de châteaux de cartes ou d'allumettes (formant des triangles équilatéraux) ... et qui est montré dans le lien de alb12 ...


Bonjour Carpe Diem. La formule dont je parle plus haut n'est pas spécifique au lien d'alb12, à moins que je loupe quelque chose. Elle s'applique apparemment à toute suite de nombre avec laquelle on peut arriver à une différence des différences statique des termes consécutifs. Ici, je ne montre que la formule qui s'applique dans mon cas (il faut prendre 2 fois la différence des termes consécutifs pour en arriver à une différence statique°. Je ne parle pas de la formule explicite finale de cette suite confirmée par le lien d'alb12 mais de celle que j'ai reproduit plus haut.

Est-ce j'ai loupé quelque chose?

Merci.

Posté par
carpediem
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 19:01

si tu parles de cette formule

Citation :
Pour rappel, la formule glanée par hasard est:

a + (n-1)d + 1/2 (n-1)(n-2) c


alors elle traduit toutes les suites de la forme u_{n + 1} = u_n + an + b

mon a correspondant à ton c ... et mon b correspondant à ton d ...

u_0 = u_0
 \\ u_1 = u_0 + a\times 1 + b
 \\ u_2 = u_1 + a \times 2 + b
 \\ u_3 = u_2 + a \times 3 + b
 \\ ...
 \\ u_{n - 1} = u_{n - 2} + a(n - 1) + b
 \\ u_n = u_{n - 1} + an + b

et en additionnant membre à membre : u_n = u_0 + a\sum_1^n k + \sum_1^n b = u_0 + a \dfrac {n (n + 1)} 2 + nb

la seule différence entre cette dernière formule et la tienne provient simplement d'un décalage d'indice et/ou de l'indice du premier terme ...



et dans ton exemple u_{n + 1} = u_n + 3(n + 1) = u_n + 3n + 3

Posté par
alb12
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 21:15

resolution de u(n+1)-u(n)=3n+3 (eq1)
1/ l'equation homogene (sans second membre) u(n+1)=u(n) a pour solution u(n)=k (constante reelle)
2/ on cherche une solution particulere sous la forme a*n^2+b* n
on trouve a=b=3/2
3/ les solutions de eq1 sont de la forme u(n)=k+3*n*(n+1)/2
si on connaît u(0) alors eq1 a une seule solution

des exemples ici

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 21:51

carpediem @ 15-10-2020 à 19:01

si tu parles de cette formule
Citation :
Pour rappel, la formule glanée par hasard est:

a + (n-1)d + 1/2 (n-1)(n-2) c


alors elle traduit toutes les suites de la forme u_{n + 1} = u_n + an + b

mon a correspondant à ton c ... et mon b correspondant à ton d ...

u_0 = u_0
 \\ u_1 = u_0 + a\times 1 + b
 \\ u_2 = u_1 + a \times 2 + b
 \\ u_3 = u_2 + a \times 3 + b
 \\ ...
 \\ u_{n - 1} = u_{n - 2} + a(n - 1) + b
 \\ u_n = u_{n - 1} + an + b

et en additionnant membre à membre : u_n = u_0 + a\sum_1^n k + \sum_1^n b = u_0 + a \dfrac {n (n + 1)} 2 + nb

la seule différence entre cette dernière formule et la tienne provient simplement d'un décalage d'indice et/ou de l'indice du premier terme ...



et dans ton exemple u_{n + 1} = u_n + 3(n + 1) = u_n + 3n + 3


Oui, c'est ça§ Merci beaucoup. Je vais mettre deux jours à décortiquer on explication mais il me semble que c'est exactement la réponse dont j'avais besoin pour comprendre.

Merci beaucoup carpediem

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 15-10-20 à 22:05

alb12 @ 15-10-2020 à 21:15

resolution de u(n+1)-u(n)=3n+3 (eq1)
1/ l'equation homogene (sans second membre) u(n+1)=u(n) a pour solution u(n)=k (constante reelle)
2/ on cherche une solution particulere sous la forme a*n^2+b* n
on trouve a=b=3/2
3/ les solutions de eq1 sont de la forme u(n)=k+3*n*(n+1)/2
si on connaît u(0) alors eq1 a une seule solution

des exemples ici


J'ai cliqué 15 fois sur le lien car il ne fonctionnait pas et rien de s'ouvrait dans mon navigateur...sauf que c'etait un fichier pdf en téléchargement direct que j'ai donc téléchargé 15 fois!

J'ai jeté un coup d'œil et je suis totalement dépassé pour l'instant. J'y reviendrai quand je serai un peu plus assuré. Merci d'avoir pris le temps d'isoler les réponses applicables à ma formule ici: je n'aurais pas compris comment les trouver dans le fichier PDF sans assistance.

Posté par
alb12
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 16-10-20 à 21:35

3 exemples qu'on peut traiter à la main

Posté par
ccu
re : Trouver la formule récurrente puis explicte d'une suite 17-10-20 à 10:21

alb12 @ 16-10-2020 à 21:35

3 exemples qu'on peut traiter à la main


Merci alb12. Encore un lien super utile, avec un choix d'interpréteurs Python en plus.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !