Bonjour,
Premiers pas sur ce forum. Je suis parent d"élève qui s'efforce avec difficulté d'aider sa fille (1ere S).
Les cinq premiers termes d'une suite sont donnés: u1 = 3, u2 = 9, u3 = 18, u4=30 et u5 = 45.
Il faut établir la relation de récurrence entre un et un+1, puis exprimer explicitement Un en fonction de n.
Tout d'abord, cette suite ne semble ni arithmétique ni géométrique. Mais purement par observation, je vois que:
un+1 = un + nu1 = un + 3n
Je fais cela sans aucune méthode: j'ai simplement observé les différences entre chaque paire de termes (6, 3, 12 et 15 soit nu1 à chaque fois). Je ne sais pas ce que cela vaut et si c'est bien la relation de récurrence recherchée.
En ce qui concerne le deuxième pas - l'expression explicite - je n'ai aucune idée de la marche à suivre. Mais j'ai observé que les différences des différences (il doit y avoir une meilleure expression pour les décrire) était statique. Ne trouvant aucune autre piste, j'ai trouvé deux références sur des sites anglo-saxons à une formule permettant de déterminer une forme explicite quand les différences sont statiques/ quand elles sont statiques au "deuxième degré", cette formule est:
a + (n-1)d + 1/2 (n-1)(n-2) c
avec a étant le premier terme (donc ui ici, soit 3), d étant la différence (premier degré) entre les deux premier termes, soit 6 ici et d étant la différence statique, donc du deuxième degré ici, soit 3.
En développant, je trouve que un = (3(n2+ n))/2
Et effectivement, cela fonctionne parfaitement: je retrouve bien tous mes termes. Mais ces sites anglo-saxons ne m'apportent aucune explication quant à la dérivation de cette formule, dans quel contexte elle est employée et, si elle constitue une règle (bien utile) pour les suites, pourquoi je n'en trouve aucune trace dans le manuel de maths ou dans le traitement des suites sur d'autres supports.
Est-il utile d'en savoir plus sur cette formule (j'avoue que je suis curieux et que je voudrais comprendre) et, sachant qu'il est difficile de l'utiliser pour aider ma fille puisqu'elle n'est pas mentionnée dans ses cours, quelle autre méthode puis-je essayer pour détermine la forme explicite?
Désolé, c'était un peu long. Merci beaucoup pour vos conseils, tuyaux et explications.
Bonsoir
De la relation de récurrence :
On peut déduire
Il se trouve qu'on a une formule, qu'il est utile de connaître par coeur, pour la somme des premiers consécutifs :
et donc
et on peut retrouver la formule que tu as trouvée
ça m'a un peu amusée quand tu as dit "la différence des différences est statique", c'est très compréhensible d'un point de vue mathématique, et on peut même faire un lien avec les fonctions et leurs dérivées
quand la dérivée de la dérivée d'une fonction est statique (constante) non nulle, la fonction en question est un polynôme de degré 2 (donc "au carré")
comme ici, tu as trouvé une formule en n au carré, le lien est assez logique et amusant
Merci beaucoup Zormuche, d'avoir répondu et pris le temps de me donner des explications, et merci d'être aussi insomniaque que moi (si tu postes d'Europe), ce qui va me permettre d'y passer la nuit.
J'avais bien vu la formule des n premiers termes consécutifs dans le manuel de ma fille et j'en ai de vagues souvenirs de mon master (pas en maths tu t'en doutes) il y a de ça plusieurs décennies, mais je n'aurais jamais pensé à l'appliquer en développant l'expression récurrente.
Merci enfin de faire le lien avec mes intuitions naïves: je me sens un peu moins bête, super bien accueilli sur ce forum et encouragé à continuer et approfondir.
Lu et relu. Je comprends bien ta dérivation mais je ne retombe pas sur ma formule. J'essaye à nouveau demain matin à tête reposée avec ce qui reste de nuit.
Bonjour,
Il me semble que la relation un+1 = un + 3n ne convient pas.
En l'appliquant pour n = 1, on obtient u2 = u1 + 3 = 6
salut,
"Il faut établir la relation de récurrence entre u(n) et u(n+1), puis exprimer explicitement Un en fonction de n."
je ne vois pas comment la donnee des 5 premiers termes d'une suite permet de trouver une relation de recurrence valable pour tout n.
C'est vraiment la seule donnee de cet exercice ?
Sylvieg
sylvieg n'étant plus là je me permets de reprendre
bonjour
effectivement votre relation de récurrence ne convient pas
un+1=un+3n
si on veut calculer u2 on remplace n par 1 ça fait
u1+1=u1+3 donc u2=3+3=6
donc y'a un os
Je suis de retour
Tout à fait d'accord avec alb12 :
Tel que reproduit l'énoncé n'a pas de sens.
C'est en cherchant une autre relation de récurrence qui puisse aussi convenir que j'ai mis le doigt sur l'erreur dans le premier message de ccu.
Pour enfoncer le clou encore plus que ciocciu :
Si on avait un+1=un+3n ,
en remplaçant n par 1, on obtiendrait :
u1+1=u1+31 ; donc u2=3+3=6
Ma formule est fausse puisque je m'étais basé sur ta relation de récurrence qui était fausse
Pour le bien de la simplicité je propose de rajouter le terme u(0)=0 à ta suite
On a donc bien la relation u(n+1)=u(n)+3(n+1) comme ont dit les autres intervenants
Et u(n) = u(0)+3+6+9+...+3n = 3(1+...+n) = 3n(n+1)/2
Pour ne pas polluer ce topic, je vais sans doute en créer un, dans le forum détente, pour trouver d'autres relations.
@ccu,
"Il faut établir la relation de récurrence"
Peux-tu recopier mot à mot la question posée ainsi que tout ce qui la précède ?
salut
si tu parles de cette formule
resolution de u(n+1)-u(n)=3n+3 (eq1)
1/ l'equation homogene (sans second membre) u(n+1)=u(n) a pour solution u(n)=k (constante reelle)
2/ on cherche une solution particulere sous la forme a*n^2+b* n
on trouve a=b=3/2
3/ les solutions de eq1 sont de la forme u(n)=k+3*n*(n+1)/2
si on connaît u(0) alors eq1 a une seule solution
des exemples ici
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